3.1随机变量数字特征（课件）- 《概率论与数理统计（第三版) 》同步教学（高教版）

随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数，分布函数 能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些 实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化 情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并 不需要求出它的分布函数。例如，在评定某一地 区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地 区的平均产量 从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数 值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随 机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在 理论和实践上都具有重要的意义。 上页 一、期望 例：有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表表出： 甲射手 击中环数 8 9 10 概率 0.3 0.1 0.6 乙射手 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.5 0.3 试问哪个射手本领较好？ 上页 下页 返回 击中环数 8 9 10 甲射中概率 0.3 0.1 0.6 安工二二二二二二二二二二二二二土 乙射中概率 0.2 0.5 0.3 解：设两个选手各射N枪，则有 甲：8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=9.3N 乙：8×0.2N+9×0.5N+10× ￥瑙9.3环.乙射中9.1环 因此甲射手的本领好些。 上页 返回 1、定义设X是离散型随机变量，它的概率函数是： P(X=XK)=pk,k=1,2,... 工二二二二二二二二二二二 ￥ 如果A|xk|Pk有限，定义X的数学期望 k=1 ￥ E(X)=9 XkPK ￥ k=1 若 ,|xk|Pk发散，称X的数学期望不存在 k=1 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的 和.它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均 上页 返回 例1设离散型随机变量X的分布律为： X 0 P0.10.20.7 则 EX=0*0.1+1*0.2+2*0.7=1.6 若离散型随机变量X的分布律为： 1 2 P0.70.2 0.1 则 EX=0*0.7+1*0.2+2*0.1=0.4 此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。 上页 返回 例2设随机变量X服从参数维p的0-1分布： 即 X 0 1 P (X) 1p p 则 EX=0*(1p）+1p卫 上页 下页 返回 2、定义：设X是连续型随机变量，其密度 函数f(),如果 ，xfx) 有限，定义X的数学期望为 E(X)o.xf(x)dx 也就是说，连续型随机变量的数学期 望是一个绝对收敛的积分. 上页 下页 返回 例3：设均勻分布的随机变量X~U(a,b),求E()。 工二二二二二二二二二二 解：X的概率密度：f)={.。 a<x<b 10, 其它 X数学期望为 E (X )=0 xf (x )dx =0x0t+06a+0x0 b 2 上页 下页 返回 例4：设X~f(x),E(X)=7/12,且 foo-o iax+b0￡x￡1 其他 求a与b 解：(1)由密度函数的性质 f=dar+bw-(r方+ar +￥ 1 =a+b=1 2 上页 下页 返回 +￥ EX= òf(x)k-òr(ax+b)k 0 -(a⅓+b =4+2b= 32 12 解得a=1,b=1/2 上页 下页 返回