第4章 随机变量的数字特征（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（上海交通大学出版社）

第4章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 4.1.1离散型随机变量的数学期望 4.1.2连续型随机变量的数学期望 4.1.3 随机变量的函数的数学期望 4.1.4 数学期望的性质 §4.2 方差 4.2.1方差的概念 4.2.2方差的计算 4.2.3方差的性质 4.2.4随机变量的标准化 §4.3 协方差和相关系数 4.3.1协方差的定义与性质 协方差的性质： 4.3.2相关系数的定义与性质 §4.4 矩与协方差矩阵 61 4.4.1 矩与协方差矩阵的概念 63 注：这一性质称为正态随机变量的线性变换不变性. 【引例】设甲乙两人在同样条件下进行射击,他们的得分 与 是随机变量,他们的射击技术为 问哪一位射手的技术更好一些？ 定义4.1 设离散型随机变量 的分布律为 , 若 ,则称 为随机变量 的数学期望,简称期望或均值,记为 ,即 EMBED Equation.3. 若级数 发散,则称随机变量 的数学期望不存在. 例4.1 ( 分布) 设随机变量 服从参数为 的 分布,求 . 解 的分布律为 , . 因而 . 例4.2（二项分布）设随机变量 ,求 . 解 的分布律为 , 则 EMBED Equation.DSMT4 例4.3（泊松分布）设随机变量 ,求 . 解 的分布律为 , 则 定义4.2 设连续型随机变量 的概率密度为 ．若积分 收敛,则称积分 为随机变量 的数学期望，简称期望或均值,记为 ,即 ． 若积分 不收敛,则称随机变量 的数学期望不存在． 例4.5 设随机变量 服从柯西分布,其概率密度为 , 试证 的数学期望不存在． 证明 因为 EMBED Equation.3 ， 即 不收敛,所以 不存在. 例4.6（均匀分布）设随机变量 在区间 上服从均匀分布,求 . 解 随机变量 的概率密度为 则 . 例4.7（指数分布）设随机变量 服从参数为 指数分布,其概率密度为 , 求 . 解 . 例4.8（正态分布）设随机变量 ,求 . 解 的概率密度为 ,因而 ， 令 ,则 . 定理4.1 设 ( 为连续函数)是随机变量 的函数． (1)若 为离散型随机变量,其分布律为 ,如果 收敛,则有 . (2)若 为连续型随机变量,其概率密度为 .如果积分 收敛,则有 . 定理4.2 设 ( 为二元连续函数)是二维随机变量 的函数,且 存在. (1)若 为离散型随机变量,其分布律为 , 则有 . 特别地, , . (2) 若 为连续型随机变量,其概率密度为 ,则有 . 特别地, , , 其中 与 分别是随机变量 与 的边缘概率密度. 例4.9 设二维离散型随机变量 的分布律为 Y X 1 2 3 0 1/4 1/8 1/4 1 1/8 1/8 1/8 求 , 及 ． 解 先求出 , 的边缘分布律 因此 , , . , , , , . 例4.10 地铁到达某站时间为每个整点的第 分,分, 分钟.设一乘客在早 点到 点之间随机到达该地铁站,求其候车时间（单位：分）的数学期望. 解 记 表示“乘客到达该地铁站的时刻点”,则 的概率密度为 表示“乘客的候车时间”,则 因而 . 性质1 设 为常数, 则 . 性质2 设 为常数, 为随机变量, 则 . 证明 设 的概率密度为 ,则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 性质3 设 为任意两个随机变量,则 . 证明 设二维随机变量 的概率密度为 ,边缘概率密度分别为 和 ,则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 性质4 设 为相互独立的随机变量,则 . 证明 因为 与 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足 , 所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 . 例4.11 设二维随机变量 的概率密度为 试验证 ,但 和 是不独立的. 解 因为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 EMB