第5章 大数定律与中心极限定理（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（上海交通大学出版社）

第5章 大数定律与中心极限定理 §5.1　大数定律 5.1.1切比雪夫不等式 5.1.2大数定律 §5.2　中心极限定理 定理5.1（切比雪夫不等式）设随机变量 具有数学期望 ,方差 ,则对任意 ,有下列切比雪夫不等式            . 证明 这里仅对连续型随机变量加以证明. 设 的概率密度为 （如图所示）,则 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 例5.1 设随机变量 是掷一颗均匀骰子所出现的点数,若给定 ,试计算 ,并验证切比雪夫不等式成立. 解 由题意知,随机变量 的分布律为 , . 因而 , , 则 . 从而切比雪夫不等式成立. 定义 设 为随机变量序列, 是一常数,对于任意 ,有 或 , 则称随机变量序列{ }依概率收敛于 ,记为 定理5.2（切比雪夫大数定律）设随机变量 相互独立,且具有相同的数学期望和方差 , ,令 ,则随机变量序列 依概率收敛于 ,即对于任意正数 ,有 , 即 证明 由 代入切比雪夫不等式即得 , 令 ,并注意到概率不能大于1,即得 . 定理5.3（伯努利大数定律）设 是 次独立试验中事件 发生的次数, 是事件 在每次试验中发生的概率,则对于任意正数 ,有 , 即 证明 因为 所以 , 其中 相互独立且都服从以 为参数的（ ）分布,因而 . 而 , 由定理5.2即得 . 定理5.4（辛钦大数定律）设 是独立同分布的随机变量序列，且 , ,令 ,则随机变量序列 依概率收敛于 ,即对于任意正数 ,有 , 即 例5.3 设随机变量 独立同分布,且 存在,令 ,则有 . 证明 因 独立同分布,所以 独立同分布.又 存在,由辛钦大数定律知 . 定理5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量列 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差 EMBED Equation.DSMT4 ,则随机变量之和 的标准化变量 的分布函数 对于任意 满足 . 定理5.5表明,对于均值为 方差为 的独立同分布的随机变量的和 的标准化随机变量,不论 服从什么分布,当 充分大时,都有 , 从而,当 充分大时 . 定理5.5′ 设随机变量列 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差 EMBED Equation.DSMT4 ,令 ,则当 充分大时 ,即 . 例5.4 一盒同型号螺丝钉共有 个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg的概率. 解 设 为第 个螺丝钉的重量, EMBED Equation.3 为一盒螺丝钉的重量,则 相互独立,由 EMBED Equation.DSMT4 知 由独立同分布中心极限定理, , EMBED Equation.DSMT4 定理5.6（李雅普诺夫定理）设随机变量 相互独立,它们具有数学期望和方差 ，记 若存在正数 ,使得当 时, 则随机变量之和 的标准化变量 的分布函数 对于任意 ,满足 定理5.7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量 则对任意 ,有 证明 由于可视为 个相互独立、服从同一参数 的 分布的随机变量 的和,即有 , 故由独立同分布中心极限定理可得 EMBED Equation.DSMT4 , 其中 EMBED Equation.DSMT4 , 定理5.7表明:若随机变量 服从二项分布，即 ，则当 充分大时,有 , 从而,当 充分大时 例5.6 假如某保险公司开设人寿保险业务，该保险有1万人购买（每人一份），每人每年付100元保险费,若被保险人在年度内死亡, 保险公司赔付其家属 万元.设一年内一个人死亡的概率为0.005试问:在此项业务中保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润不少于10万的概率是多少？ 解 设 表示一年内被保险人的死亡人数，则, , 于是 . 由棣莫佛—拉普拉斯定理, . 保险公司亏本,也就是赔偿金额大于 万元,即死亡人数大于100人的概率 所以保险公司亏本的概率为 , 这说明,保险公司亏本的概率几乎是零. 如果保险公司每年的利润不少于10万元,即赔偿人数不超过90人