第6章　数理统计学的基本概念（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（上海交通大学出版社）

第6章　数理统计学的基本概念 §6.1　总体与样本 6.1.1总体与个体 6.1.2样本 6.1.3样本的概率分布 §6.2　统计量 6.2.1常用统计量 6.2.2经验分布函数 §6.3　常用的统计分布 6.3.4正态总体的样本均值与样本方差的分布 定义6.1 把研究对象的全体(通常为数量指标 可能取值的全体组成的集合)称为总体;总体中的每个元素称为个体. 对总体的研究,就是对相应的随机变量 的分布的研究,所谓总体的分布也就是数量指标 的分布,因此, 的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征.今后将不区分总体与相应的随机变量,笼统称为总体 .根据总体中所包括个体的个数,将总体分为有限总体和无限总体. 为了能得到更多更好的总体的信息,需要进行多次重复、独立的抽样观察(一般进行 次),若抽取的样本满足以下两个条件： (1)代表性 样本 中的每一个 都具有与总体相同的分布； (2)独立性 随机变量 相互独立. 则把满足以上条件的抽样方法称为简单随机抽样,所得到的样本称为简单随机样本,简称样本. 定义6.2 设总体 的分布函数为 ,若 是具有同一分布函数 的相互独立的随机变量,则称 为从总体 中得到的容量为 的简单随机样本,简称样本.它们的观察值 称为样本值. 若总体 的分布函数是 , 为 的一个样本,则 的分布函数为 . 特别地,若总体是连续型随机变量,其概率密度为 ,则 的概率密度为 . 若总体是离散型随机变量,其分布律为 则 的分布律为 . 例6.1 设总体 为其一个简单随机样本,求样本 的分布律. 解 因为 , , 所以 的分布律为 定义6.3 设 是来自总体 的一个样本, 是 的函数,若 中不含未知参数,则称 是该样本的统计量. 因为 都是随机变量,而统计量 是随机变量的函数,因此统计量是一个随机变量,设 是相应于样本 的样本值,则称 是 的观测值. 统计量 观测值 样本均值 样本方差 EMBED Equation.DSMT4 样本标准差 样本 阶（原点）矩 , 样本 阶中心矩 , 例6.2 设总体 的样本观察值为 ,求样本均值、样本方差及样本标准差. 解 样本均值为 样本方差为 样本标准差为 . 定义6.4 设 是总体 的一个容量为 的样本值,先将 按自小到大的次序排列,并重新编号.设为 , 则函数 称为经验分布函数. 例6.3 随机观察总体 ,得到一个容量为5的样本值 1.8, 0.7, 1.3,2.7,1.8. 求 的经验分布函数. 解 将样本值按从小到大的顺序排列为 , 于是经验分布函数 为 的图形如图所示. 6.3.1 分布 1. 分布的概念 定义6.5 设 是来自总体 的样本,则称统计量 服从自由度为 的 分布,记为 .此处,自由度是指式右端包含的独立变量的个数. 分布的概率密度为 其中 为伽玛函数, 的图形如图所示,从图中可以看出, 越大图形越对称. 注:①伽玛函数 定义为 . ②伽玛函数 的运算性质: (ⅰ) ； (ⅱ) , 为正整数； (ⅲ) . 2. 分布的性质 (1)若 ,则 的数学期望和方差分别为 . 证明 由 ,得 ， ， 于是 (2) 分布的可加性 若 且 相互独立,则 . 证明 由 分布的定义,可设 , ， 其中 均服从 且相互独立. 于是,由 分布的定义 服从 . (3) 分布的分位点 设 ,对于给定的正数 ,称满足条件 的点 为 分布的上 分位点,如图所示. � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 6.3.2 分布 1. 分布的概念 定义6.6 设 , ,且 与 相互独立,则称随机变量 服从自由度为 的 分布,记为 . 分布的概率密度为 . 概率密度 的图形如图所示. 2. 分布的性质 (1)若 ,则当 时， 的数学期望与方差 . (2) 分布的概率密度关于 对称,当 充分大时,其图形类似于标准正态分布概率密度的图形,再由 函数的性质有 , 当 充分大时, 分布近似于 分布,但对于较小的 , 分布与 分布相差很大. (3) 分布的分位点 设 ，对于给定的正数 ,称满足条件 的点 为 分布的上 分位点(如图所示). 6.3.3 分布 1. 分布的概念 定义6.7 设 且 与 相互独立,则称随机变量 服从自由度为 的 分布,记作 ,其中 称为第一自由度,