第7章 参数估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（上海交通大学出版社）

第7章 参数估计 §7.1 点估计 7.1.1点估计的概念 7.1.2 矩估计 7.1.3最大似然估计法 7.1.4估计量的评选标准 §7.2 区间估计 7.2.1 置信区间的概念 7.2.2 单个正态总体均值与方差的置信区间 7.2.3两个正态总体均值与方差的置信区间 7.2.4单侧置信区间 定义7.1 设总体 的分布函数 的形式为已知, 是待估参数, 是总体 的一个样本, 是相应的一个样本值,构造一个适当的统计量 ， 用它的观测值 作为未知参数 的近似值, 注:①估计量 是样本 的函数,即是一个统计量.对不同的样本值, 的估计值 一般是不同的. ②分布函数中的待估参数可以是一个,也可以是 个( ). 称 为 的估计量.称 为 的估计值,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计,并简记为 . 例7.1 设某地区去年每月发生火灾的次数为 设每月发生火灾的次数 服从参数为 的泊松分布, 未知, ,试估计参数 . 解 由于 ,所以 . 设 是来自总体 的样本,由大数定律知 , 故可用 的观测值 作为 的估计值. 对于给定的样本值计算得 . 则 与 分别为 的估计量与估计值. 定义7.2 用样本矩去估计总体矩的方法称为矩估计法.用矩估计法确定的估计量称为矩估计量,相应的估计值称为矩估计值,矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 设总体 的分布函数 中含有 个未知参数 , 为 的一个样本,并设总体 的 阶矩存在.求矩估计的主要步骤如下： (1)求总体 的前 阶矩 . 记为 (7.1) (2)从(7.1)中得到 (7.2) (3)用样本矩 代替(7.2)中的 ,即可得 的矩估计量 . 例7.3 设总体 在 上服从均匀分布, 未知, 是来自 的样本,试求 的矩估计量. 解 由题意得 即 解得 . 分别以 代替 ,得到 的矩估计量分别为 例7.4 设 是来自总体 的样本，总体 的均值 及方差 （ ）都存在,但 , 均未知.试求 , 的矩估计量. 解 由题意得 解得 分别以 代替 ,得 和 的矩估计量分别为 (4) 其中 为已知,由于 ,所以 . (5) 由 ,所以 . 常用公式中未知参数的矩估计量: (1) 由于 ,所以 和 的矩估计量为 EMBED Equation.DSMT4 (2) 由于 所以 EMBED Equation.DSMT4 . (3) ,由于 所以 . 定义7.3 设 是来自总体 的样本, 为样本值,若 是离散型总体,其分布律为 EMBED Equation.DSMT4 为未知参数,称 为参数 的似然函数. 若 是连续型总体,其概率密度为 EMBED Equation.DSMT4 为未知参数,称 为参数 的似然函数. 定义7.4 若对任意给定的样本值 ,存在 ,使 ,则称 为 的最大似然估计值,称相应的统计量 为最大似然估计量,它们统称为最大似然估计. 求未知参数 的最大似然估计就是求似然函数 的最大值点,当 可微时,可用微分学中求最值的方法求解,其主要步骤如下: (1)写出似然函数 ; (2)求驻点,令 或 ; (3)判断并求出最大值点. 注:①函数 是 的单调增加函数,且函数 与函数 有相同的极值点,为了计算的方便,常将求函数 的最大值点转化为求函数 的最大值点.称 为对数似然函数,称 为对数似然方程. ②当似然函数 不可微时,只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点. ③上述方法可推广到多个未知参数的情形:若总体 的分布中含有 个未知参数 , 为来自总体 的样本观测值,则似然函数 为 的 元函数,由对数似然方程组 , 解得 的最大值点 分别是参数 的最大似然估计值. 例7.5 设总体 服从 分布, , 未知且 , 是来自 的一个样本,试求参数 的最大似然估计量. 解 设 是样本 的样本观测值,则似然函数为 , 令 ,解得 的最大似然估计值 , 对数似然函数为 , 则 的最大似然估计量为 . 1.无偏性 定义7.5 设 是未知参数 的估计量,若 , 则称 为 的无偏估计量. 例7.9 设总体 的 阶矩 存在,又设 是 的一个样本.试证明不论总体服从什么分布, 样本 阶矩 是总体 阶矩 的无偏估计量. 证明 与 同分布,故有 EMBED Equation.DSMT4 即有 因此,不论总体 服从什么分布,样本 阶矩是总体 阶矩的无偏估计量. 2.有效性 定义7.6 设 和 都是未知参数 的无偏估计量,若 , 则称无偏估计 较 有效. 例7.12 设 是来自均值为 、方差为 的总体 的样本. 均为总体均值 的无偏估计量,问哪一个估计量更