第8章 假设检验（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（上海交通大学出版社）

第8章 假设检验 §8.1 假设检验概述 8.1.1 假设检验的基本思想 　 8.1.2 假设检验的推理方法和步骤 §8.2 正态总体均值的假设检验 8.2.1 单个正态总体均值的检验 8.2.2两个正态总体均值差的检验 8.2.3基于成对数据的检验（t检验） §8.3 正态总体方差的假设检验 8.3.1 单个正态总体方差的检验( 检验) 8.3.2 两个正态总体方差的检验(F检验) §8.4 总体分布的假设检验 8.4.1 拟合检验法的基本思想 8.4.2 拟合检验法的推理方法和步骤 为了检验某一假设 是否正确,首先假定该假设 为真,然后根据抽取到的样本对假设 做出接受或是拒绝的决策.如果样本观察值导致了不合理的现象发生（即小概率事件发生了）,则有理由否定假设 ,否则接受假设 . 当假设 正确时,小概率事件也有可能发生,此时,我们会拒绝假设 ,这种“弃真”的错误,称为第一类错误.犯第一类错误的概率恰好是“小概率事件”发生的概率,用 表示,即 . 反之,若假设 本来不正确,但一次抽样检验未发生不合理结果,这样我们就会接受 ,这种“取伪”的错误,称为第二类错误.犯第二类错误的概率用 表示,即 . 当样本容量 固定时, 不能同时都小,即 减小时, 就增大,而 减小时, 就增大.若要使犯两类错误的概率都减小,只有增加样本容量.在实际应用中,我们一般是控制犯第一类错误的概率,使它不超过 ,即令 .这种只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑犯第二类错误的概率的假设检验,称为显著性检验. 是一个事先给定的很小的正数,称为显著性水平,通常取 等. 例8.1 某食品厂生产的罐头规定每听的标准重量为 克,这些罐头由一条生产线自动包装,质量管理中规定每隔一定时间要抽测 听罐头.若某次抽测的 听罐头的重量为 由经验知道,生产的罐头的重量 （单位：克）服从正态分布 ,假定标准差为 克,且保持不变,这时是否可以得出生产线运转正常（即这段时间生产的罐头的平均重量为 克）的判断呢？ 分析 由题意知,设抽检的罐头的重量 ,记 ,则问题是 还是 . 为此,先假定 ,并称之为原假设或零假设,记为 ,这个原假设可能成立也可能不成立.当原假设不成立时,即有 ,作假设 , 称为备择假设或对立假设.原假设和备择假设是一对相互矛盾的假设,拒绝其一,意味着接受另一个. 由前面的讨论知,假设检验的关键在于构造一个小概率事件 ,并根据实际推断原理做出判断：当事件 发生时,拒绝原假设 .那么,如何构造这个小概率事件 呢？ 由参数估计知, 是 的一个“好”估计量,其观察值 的大小在一定程度上能反映 的大小.因而,如果原假设 成立,通常 应很接近 ,即 应很小.换句话说,如果 偏大,就有理由怀疑 的正确性,从而拒绝 . 对于 与 是否接近,需要建立明确的量化判别准则,即要确定一个合适的常数 ,使得当 时拒绝 .由于允许犯第一类错误的概率最大为 ,为了确定常数 ,考虑临界情形,即允许犯第一类错误的概率为 ： . 这样,取事件 为 ,这是一个小概率事件.根据取得的样本算出 ,当 ,就说明事件 发生,此时拒绝 .否则,没有理由拒绝 ,只能接受 . 考虑到当 为真时,统计量 ,因而 小概率事件 等价于事件 ,对于给定的显著性水平 ,由标准正态分布分位点的定义知（如图）, , 因而,取 ,即有 这里,统计量 称为检验统计量. 解 如果给定 , .由于 , , ,于是 的观察值 . 这说明,在一次抽样中,小概率事件 发生了,从而有理由怀疑 的正确性,即拒绝 ,认为生产线运转不正常. 综上讨论,对于上例给定的假设检验问题,若给定的显著性水平 ,可得到如下检验规则： 若 ,则拒绝 ；若 ,则接受 , 其中 为检验统计量 的观测值. 由此可见,当检验统计量 在 为真且分布已知时,对给定的显著性水平 ,由于 , 此处 称为临界值,其中事件 即是概率为 的小概率事件.算出检验统计量的观察值,如果事件 发生,则拒绝 .使原假设 被拒绝的检验统计量 的观察值 所在区域 称为假设 的拒绝域. 上例的这种检验,称为双侧（边）检验.对于双侧检验,我们只关心假设 是否为真.例如,在上例中,只考虑是否有 ,而不关心 与 的大小关系. 在实际问题中,有时我们只关心总体的均值或方差是否增大（或减小）.例如,新品种农作物的产量是否增大,改进设备后产品的次品率是否减小等.此时需要检验下列形式的假设: (8.1) 或 (8.2) 形如(8.1)的假设检验称为右侧(边)检验,形如(8.2)的假设检验称为左侧(边)检验;右侧(边)检验和左侧(边)检验统称为单侧(边)检验. 设总体 , 已知, 是来自总体X的一个样本, 为样本均值,给定的显著性水平 .