专题14 锐角三角函数与圆的综合分类训练-2023-2024学年九年级数学下册提优专题及提优测试卷（人教版）

专题14 锐角三角函数与圆的综合分类训练（原卷版） 类型一 利用圆周角定理转化到直角三角形中 1．（2023秋•常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF．已知，CE＝4，则AC＝　 　． 2．（2023秋•宣化区期末）已知四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，FC⊥AC于C，与⊙O及AD的延长线分别交于点E，F，且． （1）求证：△CBA∽△FDC； （2）如果AC＝9，AB＝4，求tan∠ACB的值． 3．（2021春•中原区月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上． （1）求证：AE＝AB； （2）填空：①当∠CAD＝　 　°时，四边形AOED是菱形． ②当∠CAB＝90°，cos∠ADB，BE＝2时，BC＝　 　． 类型二 利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形 4．（2022•南浔区一模）如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB＝45°，则S△CDP：S△ABP的值（　　） A． B． C． D． 5．（2023•开江县二模）如图，半径为的⊙A经过原点O和点C（0，1），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•靖江市月考）如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，过点P作直线交⊙O于C、D两点．若OA＝3，PB＝2，则tan∠PAC•tan∠PAD＝　 　． 7．（2023秋•迁安市期末）如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝10cm，CD为水面截线，MN为台面截线，CD∥MN． （1）在图1中，过点O作OE⊥CD于点E，若OE＝3cm，则CD＝　 　cm； （2）如图2，将图1中的水槽沿MN向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为 　 　cm．（参考数据：cos37°，结果保留π） 类型三 利用切线与过切点的半径垂直构造直角三角形 8．（2023秋•江夏区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与边AC交于点D，若tanA，AD＝2，则tan∠BOC＝　 　． 9．（2023•营口二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦AD交BC于点E，连接CD．过点B作⊙O的切线MN，交AD延长线于点N．过点D作DG⊥AB于点G，交CB于点F． （1）若∠ACD＝∠CED，求证：AC＝2OG； （2）在（1）的条件下，若tan∠DCB，DN，求⊙O的半径． 10．（2022春•高新区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若CF，且sin∠CFD，求⊙O的半径与线段BC的长． 11．（2023秋•青秀区期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°． （1）求∠BED的大小； （2）若点F在AB的延长线上，且AF＝2AB，求证：DF与⊙O相切． 12．（2023•东海县三模）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E． （1）求证：AB＝BE； （2）若PA＝2，cosB，求⊙O的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 锐角三角函数与圆的综合分类训练（解析版） 类型一 利用圆周角定理转化到直角三角形中 1．（2023秋•常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF．已知，CE＝4，则AC＝　　． 【思路引领】连接DE，可得∠DAC＝∠DCE，由tan∠DCE＝tan∠DAC，CE＝4，可求DE，进而可求AD，在Rt△DCA中求AC即可． 【解答】解：连接DE， ∵CD为直径， ∴∠DEC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DAC+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠DAC＝∠DCE， ∴tan∠DCE＝tan∠DAC，CE＝4， ∴DE＝3， ∴在Rt△DCE中，CD5， ∴， ∴AD， ∴在Rt△DCA中，AC． 故答案为：． 【总结提升】本题考同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等、解直角