[中学联盟]湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学选修1-1 3-1-2导数的概念 导学案+课件（2份）

3.1.2导数的概念 作者：沙市五中 任启林 高二数学 选修1-1 1、平均变化率 一.复习 其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。 一般的，函数　　在区间上 的平均变化率为 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10 求ｔ＝2时的瞬时速度？ 我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。 二.新授课学习 h t o 2 △ｔ＜0时 2＋△ｔ △ｔ＞0时 2＋△ｔ 当△t = – 0.01时, 当△t = 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t =0.001时, 当△t = –0.0001时, 当△t =0.0001时, △t = – 0.00001, △t = 0.00001, △t = – 0.000001, △t =0.000001, …… …… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内 瞬时速度 　在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 思考： ⑴如何求瞬时速度？ ⑵lim是什么意思？ 在其下面的条件下求右面的极限值。 ⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示? １、函数的平均变化率怎么表示？ 思考： 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 导数的作用： 在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度； 在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 一差、二比、三极限 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数. 练习: 练习：(1)求函数f(x)＝eq \f(1,x)在x＝1处的导数 解：(1)∵Δy＝eq \f(1,x＋Δx)－eq \f(1,x)＝eq \f(－Δx,xx＋Δx) (2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a. (2)∵Δy＝a(x＋Δx)2＋c－(ax2＋c) ∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(1,xx＋Δx) ∴limeq \o(,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝limeq \o(,\s\do4(Δx→0))[－eq \f(1,xx＋Δx)]＝－eq \f(1,x2) ∴f′(1)＝－eq \f(1,12)＝－1 ＝2axΔx＋a(Δx)2 ∴f′(x)＝limeq \o(,\s\do4(Δx→0))(2ax＋aΔx)＝2ax ∴eq \f(Δy,Δx)＝2ax＋aΔx ∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1 计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时 变化率，并说明它们的意义。 这说明: 在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。 练习： 小结： 1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限 2由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) (