[中学联盟]湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学选修1-1 3-1-3导数的几何意义 导学案+课件（2份）

3.2导数的几何意义 作者：沙市五中 任启林 高二数学 选修1-1 一、复习 1、导数的定义 其中：⑴ 其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。 其几何意义是？ 2:切线 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。 不能 直线与圆相切时，只有一个交点P P l x y o P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 1、曲线上一点的切线的定义 结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线PT. 点P处的割线与切线存在什么关系？ 新授 设曲线C是函数y=f(x)的图象， 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y) ,过P,Q两点作割 线， 当点Q沿着曲线无限接近于点P 点P处的切线。 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 T 此处切线定义与以前的定义有何不同？ x o y y=f(x) △x △y P Q x y o P Q M 为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？ 思考： Q P Pn 切线 T 当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线. o x y y=f(x) 割线 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 M △x △y 割线与切线的斜率有何关系呢？ 即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率， x o y y=f(x) P(x0,y0) Q(x1,y1) Q2 Q3 Q4 T 继续观察图像的运动过程，还有什么发现？ x o y y=f(x) P Q1 当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 即: 题型三：导数的几何意义的应用 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 . 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: 例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数. （2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 题型三：导数的几何意义的应用 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P y 故所求的斜率为-2. 题型三：导数的几何意义的应用 练：设f(x)为可导函数,且满足条件 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率. h t o 3、判断曲线y=2x2在点P(1,2)处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 1、设函数y=f(x),当自变量由xo改变到xo+Δx时，函数的改变量Δy=( ) A、f(xo+ Δx) B、 f(xo)-f(Δx) C、 f(xo)+Δx D、 f(xo+Δx) - f(xo) 2、已知曲线y=x2/2上A、B两点的横坐标是xo和xo+Δx，则过A、B两点的直线斜率是（ ）