3.4 随机变量的矩、协方差与相关系数（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

§4 矩、协方差及相关系数 1 一、原点矩与中心矩 其中 k 是正整数. 称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合原点矩. 若 存在， 称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合中心矩. 设 X 和 Y 是随机变量，若 存在， 1阶原点矩就是数学期望；2阶中心矩就是方差； X 和 Y 的二阶混合中心矩就是接下来要讨论的协方。 2 对随机向量来说，除了研究每个分量的数学期望和方差以外，还希望知道分量之间的相关程度，因此引进协方差和相关系数这两个概念。 定义 计算公式： 二、协方差的概念及其性质 covariance 3 定义 计算公式： 二、协方差的概念及其性质 其中 4 协方差的性质： 2、对称性： 3、线性性： 4、若 X 和 Y 相互独立，则 因为 X 和 Y 相互独立 注意：上式反之未必成立。 1、 a,b为常数 5 5、 类似地有 推广： 因此，若 X1, X2, …, Xn 两两独立,，则有 6 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： 为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念。 可以验证， 三、相关系数的概念及其性质 7 标准化随机变量消除了量纲的影响。 可以验证， 8 定义 计算公式： 9 证 相关系数的性质： 性质1 10 性质2 证 11 相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图). | |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高; | |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱. 12 例 设 (X, Y ) 的联合分布律为 解 先求出边缘分布， 13 解 例 x y O 14 x y O 15 定义 下列事实彼此等价： 定理 若 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关。 注意：逆定理不成立,即 X 与 Y 不相关时,不一定独立. 16 例 设 ( X, Y ) 的分布律为 所以 这表示X,Y 不存在线性关系. 但, 知X,Y 不独立. 事实上, X,Y 具有非线性关系： 17 解 例 即 X 与 Y 不相互独立。 18 解 例 (1) X 与 Y 的联合密度为 边缘密度为 0， 其他 19 类似地, 同理, 奇函数 20 (利用对称性) 所以 即 X 和 Y 不相关。 即 X 和 Y 不独立。 (2) 21 二维正态分布 可以证明：X,Y 相互独立 可以计算得 于是，对二维正态随机变量 (X, Y ) 来说, X 和 Y 不相关与 X 和 Y 相互独立是等价的. 在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。 22 解 例 23 例 解 (1) 所以 24 故 (X, Y) 的联合概率分布为 25 (2) 边缘分布为 均为0-1分布， 26 练习： P94 习题三 7. 8. 9. 10. 11. 12. 27 End 28 习题选解 29 P95 7、 解 30 P95 9、 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 解 31 32 33 (B) 1.已知随机变量 X 服从二项分布，且 则二项分布的参数 n, p 的值为 解 解得 选 (B) . 34 5. 解 选 (B) . 35 称 为随机变量X和Y的协方差，记为 。 称 为随机变量X和Y的协方差，记为 。 我们把 称为X的标准化随机变量. 我们把 称为X的标准化随机变量. 记为 ,即 将标准化变量 与 的 的协方差 ,称为X与Y的相关系数, 若 ，则 设随机变量 的密度函数为 试求X和Y的协方差 与相关系数 ． 如果 ，称X与Y不相关。 (1) X与Y不相关(即 )； 所以 ， 于是 ，即X与Y不相关； 由于 ，因此X与Y存在非线性关系， 随机变量 ， ， ，求 ，并讨论X与Y是否相互独立。 设 在圆域 内服从均匀分布， (1) 求X与Y的相关系数；(2) 问X与Y是否独立? 已知 ， ， ，则 ， . 设A,B为随机事件,且 , , , 令 求：(1) 二维随机变量 的联合概率分布； (2) X与Y的相关系数 。 设 ， ， ，求 及 。 ， ， ， ， (A) (B) (C) (D) 如果随机变量 满足 ，则必有( ). A. X与Y独立 B. X与Y不相关 C. X与Y不独立 D. $$