3.3 习题课（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

习题课 例1 解 1 例2 解 2 解 例3 设随机变量X的密度函数为 求EX,DX. 所以 3 例4 分析： 解 抽到卡片的号码，则 4 5 例5 解 X的分布律为 巴斯卡分布 直接计算较繁，下面用分解法。 6 例5 解 所以 7 证 即A与B相互独立, 例6 8 故 X 和 Y 相互独立． 即A与B相互独立, 9 证 例7 10 解 先求出边缘密度， 均匀分布 y = 3x y = 2x 例8 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 11 类似地， 12 y = 3x y = 2x 13 y = 3x y = 2x 注：实际上，本题不必求边缘密度，可以直接利用联合密度计算E(X)、E(Y )等。 实际上,上述方法限定了求积分的次序,有时不方便. 14 例8 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 解 均匀分布 y = 3x y = 2x 15 均匀分布 y = 3x y = 2x 16 设(X,Y )的联合密度函数为 解 例9 17 18 例10 若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的。(1) 若每把钥匙试开一次后除去；(2) 若每把钥匙试开一次后不除去，分别求试开次数X的数学期望。 解 则 乘法公式 19 所以 X 的分布律为 故 几何分布, 所以 20 解 例11 设随机变量X的概率密度函数 求：EX, DX. 瑞利Rayleigh分布 泊松积分 21 例11 设随机变量X的概率密度函数 求：EX, DX. 解 22 END END 23 设随机变量X的数学期望 ,方差 ，则由切比雪夫不等式，有 。 由切比雪夫不等式 ， 令 ，则得 设 ， ，且 相互独立，则 ， . 由于是放回抽取,故诸 独立， 由此得,对 , 本题若先求 的概率分布，再求期望及方差，很困难，若将 表示成k个随机变量之和的形式，利用期望的性质，即很容易求解． 袋中有n张卡片,记号码 ,从中有放回地抽出k张卡片,求所得号码之和 的数学期望及方差． 记 表示抽出k张卡片的号码和， 表示第i次 流水生产线上每个产品不合格的概率为p ，各产品合格与否相互独立，当出现k个不合格产品时即停机检修．设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望 和方差 ． 流水生产线上每个产品不合格的概率为p ，各产品合格与否相互独立，当出现k个不合格产品时即停机检修．设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望 和方差 ． 设 表示自第 个不合格品后到出现第i个不合格品时生产的产品数， ，则 由生产的独立性可知 也相互独立，且同分布，每个 都服从参数为p的几何分布,于是 证明若 , 则X和Y必定相互独立． 因为 , 设A和B是试验E的两个事件,且 , , 即 , 所以 , 从而A和 、 与B、 与 也相互独立,于是 并定义随机变量X,Y如下： 所以 , 从而A和 、 与B、 与 也相互独立,于是 若 试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数，其中 ． (1)以 ( )表示事件“第k次试开成功”, (2)若每次试开后不除去,则试开次数X服从 的 $$