3.2 方差（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

§2 方差 (Variance) 随机变量 X 的数学期望，描述了随机变量 X 取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道 X 的数学期望有时还不能完全刻划随机变量 X 的统计特征。 比如，某厂生产一批元件，平均使用寿命E(X) = 1000小时，仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以上，而另一半却质量很差，寿命不足500小时，从而反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命 X 对期望E(X)的偏离程度。 下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征。 1 一、方差的定义 定义 即 如果随机变量X的数学期望存在，称X-E(X)为随机变量 X 的离差。 均方差 根方差 2 计算公式： 3 1、若X是离散型随机变量，其概率分布为 则 具体计算公式： 2、若X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x)， 则 4 例 设随机变量 X 的概率分布为 解 2 0.3 X P 3 4 0.4 0.3 求：EX, DX. 所以 5 例 设 X 表示机床 A 一天生产的产品废品数，Y 表示机床 B 一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下： X 0 1 2 0.5 P 3 0.3 0.1 0.1 解 Y 0 1 2 0.6 P 3 0.1 0.2 0.1 问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。 均值相等, 据此不能判断优劣,再求方差。 6 X 0 1 2 0.5 P 3 0.3 0.1 0.1 Y 0 1 2 0.6 P 3 0.1 0.2 0.1 均值相等, 据此不能判断优劣,再求方差. 由于D(X)< D(Y),因此机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定。 7 解 例 设随机变量 X 的概率密度函数 求：EX, DX. 8 解 求 X 的方差． 例 设随机变量 X 的概率密度为 9 解 例 设随机变量 X 的分布函数为 求：EX, DX. X 的密度函数为 10 11 解 例 设 (X, Y ) 的联合分布律为 求随机变量 X, Y 的方差． 由对称性知， 二、方差的性质 性质1 D(C ) = 0，其中 C 是常数。 性质2 若k是常数, 则 性质3 证 其中C是常数。 证 13 性质4 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，则 证 而 14 当 X 和 Y 相互独立时，有 所以 推广： 若X1, X2, …, Xn 两两独立, 则 更一般地， 证 性质4 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，则 15 注意：以下两个式子是等价的： 例如，当 X 和 Y 相互独立时，有 若X1, X2, …, Xn 两两独立, 则 16 解 选 (B). A. 有相同的分布 B. 数学期望相等 C. 方差相等 D. 以上均不成立 例 17 解 (1) 例 设二维随机变量 (X, Y ) 的分布函数为 18 (2) 19 20 21 22 离差有正有负，为了消除离差符号的影响和数学上便于处理，用 来衡量X与E(X)的偏差。 设X是随机变量，数学期望E(X)存在，并且 也存在，则称之为X的方差，记作D(X )， 由于 ， 称为X的标准差。 从方差的定义我们可以看出，X的方差D(X)实际上是随机变量 的期望，因此 。当随机变量的可能取值以较大的概率集中在数学期望附近时，方差较小，否则方差较大。因此，方差的大小可以反映随机变量分布的分散程度。 设随机变量 相互独立且分布相同，则 与 的关系是则( ). (1) 试求X和Y的边缘密度函数，并验证X与Y是否相互独立；(2) 求 ， 。 因为 ，所以X与Y相互独立。 $$