3.1 数学期望（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

第三章 随机变量的数字特征 1 前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到。 先介绍随机变量的数学期望。 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望和方差 2 §1 数学期望 (Mathematical Expectation) 3 例 有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表： 一、离散型随机变量的数学期望 甲： 击中环数 8 9 10 30% 10% 60% 频率 乙： 击中环数 8 9 10 20% 50% 30% 频率 问哪一个射手水平较高？ 解 假定各射 N 枪，则平均每枪所得环数约为 甲： 4 问哪一个射手水平较高？ 解 假定各射 N 枪，则平均每枪所得环数约为 甲： 乙： 可见甲的水平高些。 甲： 击中环数 8 9 10 30% 10% 60% 频率 乙： 击中环数 8 9 10 20% 50% 30% 频率 5 定义 设离散型随机变量 X 的概率分布为 则称 为 X 的数学期望，记为 E(X)， 此时要求级数绝对收敛。 若 X 的取值为可列多个，则 6 例 设袋中装有2个白球和3个红球，从中无放回地抽取，直到出现两个红球为止，用X表示第2次取得红球时的取球次数，求E(X ) 。 解 则 即 X 的分布律为 2 0.3 X P 3 4 0.4 0.3 即第2次取得红球时平均取球次数为3次。 7 例 面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额 X 的数学期望 E(X ) 为多少？ 解 1000 20 5 0.0002 X P 0 0.005 0.05 0.9448 则 8 例 对某一目标连续射击，直到击中目标为止，设命中率为 p，求射击次数 X 的数学期望。 解 几何分布，即 X 的分布律为 由无穷级数知识知， 逐项求导， 9 解 例 10 假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对1之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,因此,如果立即扩展，则利润的期望值是 例 假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利328(万元)；如果未来市场萧条，则将损失80(万元)。如果这个企业等待下一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利160(万元),而在市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元)。现在的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？ 数学期望在经济管理中经常用到,特别是在决策问题中。 解 首先要对未来市场作出适当估计。 11 市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3, 如果立即扩展，则利润的期望值是 如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为 按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利。 如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为 12 如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为 而推迟扩展所期望的利润为 按此计算结果，则立即扩展较为有利。 13 例 (一种验血新技术) 在一个人数很多的单位中普查某种疾病, N 个人去验血, 有两种方法: (1) 每个人的血分别化验,共需 N 次；(2) 把 k 个人的血样混在一起化验, 如果结果是阴性, 那么一次就够了；如果呈阳性, 那么对这 k 个人的血样再逐次化验, 共需 k+1次。假定对所有人来说, 呈阳性的概率为 p , 且相互独立, 下面说明当 p 较小时, 方法(2)能减少化验的次数。 解 用方法(2)验血时,每个人需化验的次数 X 的概率分布为 14 用方法(2)验血时,每个人需化验的次数 X 的概率分布为 因此， N 个人需化验的次数的数学期望为 例如， 15 二、连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x), 如果积分 绝对收敛， 则称之为 X 的数学期望，记为 E(X)，即 16 解 例 设随机变量 X 的概率密度函数为 求 X 的数学期望。 17 解 例 设随机变量 X 的概率密度函数为 求 E(X) 。 18 三、随机变量函数的数学期望 (1) 若 X 是离散型随机变量，且 X 的概率分布为 (2) 若 X 是连续型随机变量，且其概率密度为 f (x)， 则 则 19 上述结论可推广到二维随机变量的函数的情况。 (1) 若(X, Y)是离散型随机变量，且其联合分布