2.5 随机变量函数的分布（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

第五节 随机变量 函数的分布 1 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 求截面面积 A = 的分布. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 设随机变量 X 的分布已知，Y = g (X) (设 g 是连续函数)，如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 2 一、一维随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量函数的分布 注意：取值相同的概率应相加。 设 X 为离散型随机变量，分布律为 则 Y 的分布律为 3 解 求 2X+1 及 X 2 的概率分布。 例 设随机变量 X 的概率分布为 4 2. 连续型随机变量函数的分布 下面举例说明。 设 X 为连续型随机变量，其密度函数为 f ( x )， 要求 Y 的密度函数，一般用“分布函数法”。 5 例 设随机变量 X 具有概率密度 解 求随机变量 Y = 2 X + 8 的概率密度。 设 X, Y 的分布函数为 FX (x), FY (y), 于是 Y 的密度函数为 6 7 解 例 设 X ~ N (0, 1) , 求 Y = X 2 的概率密度。 注意到 设 X, Y 的分布函数为 FX (x), FY (y), X 的其概率密度为 8 则 Y = X 2 的概率密度为 X 的其概率密度为 称 Y 服从自由度为 1 的 χ 2 分布。 9 解 所以 综上所述，有 例 设随机变量 X 的概率密度为 10 二、二维随机变量函数的分布 接下来讨论如何利用随机向量 (X, Y ) 的分布求它的函数的分布，分离散型和连续型两种情形讨论。 1. 二维离散型随机变量函数的分布 设随机向量(X,Y )的联合分布律为 11 例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布律为 解 分别求X+Y、X 2+Y 2、min(X, Y ) 的分布律。 12 13 证 所以 例 此性质称为泊松分布的可加性 14 2. 二维连续型随机变量函数的分布 主要讨论和的情况. 设 X 和 Y 的联合密度为 f (x,y), 求 Z = X+Y 的密度. Z=X+Y 的分布函数是: x y 0 z z 两边关于 z 求导，则得 Z 的密度函数为 15 由 X 和 Y 的对称性, fZ (z) 又可写成 特别，当 X 和 Y 独立，设(X,Y)关于 X, Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为： 这两个公式称为卷积公式, 记为 . 16 例 设X, Y 相互独立且均服从标准正态分布，求 Z = X+Y 的概率密度 . 由卷积公式， 解 17 用类似的方法可以证明: 若X和Y 独立, 若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1)，则Z=X+Y服从正态分布N(0, 2). 即有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 正态分布的可加性 18 解 Z 的分布函数为 x y o 例 设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为 19 解 x y 0 故 Z 的概率密度为 20 练习： P70 习题二 18. 19. 20. 21 END END 22 习题选解 23 解 18.设 X 和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分 由卷积公式, 仅当 上述积分的被积函数才不等于0，因此 即 时, 别为 24 25 即有 26 求 的概率密度。 当 时, ； 当 时, 则由(X,Y)的所有可能取值情况，可以求出随机变量 的所有可能取值情况，不妨设为 ；再把取值相同的概率合并，从而得到Z的概率分布。下面通过具体的例子说明。 设X,Y是相互独立的随机变量, , . 证明: . 1) 当 时， ； 2) 当 时， 求 的密度函数． (2) 的分布函数为 3) 当 时， 1) 当 时， ； 2) 当 时， 求随机变量 的概率密度. 当 时, 当 时, 当 时, 当 时, $$