2.4 二维随机变量（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

第四节 二维随机变量 1 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等. 2 一般地，我们称n个随机变量的整体 X = (X1, X2, …，Xn) 为 n 维随机变量或随机向量. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量 . 请注意与一维情形的对照 . 3 一、二维离散型随机变量及其分布律 则称二维表 为 (X, Y) 的联合分布律。 1、联合分布 4 5 例 袋中有2只白球3只红球，有放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求 (X, Y) 的联合分布律。 解 6 解 例 袋中有2只白球3只红球，有放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求 (X, Y) 的联合分布律。 7 例 解 由于 所以 8 故 (X, Y) 的联合概率分布为 9 2、边缘分布 设 ( X,Y ) 是离散型二维随机变量，联合分布律为 则边缘分布为 10 例 袋中有2只白球3只红球，有放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，则 (X, Y) 的联合分布律为 所以 X, Y 的边缘分布律分别为 11 若改为无放回摸球，则 (X, Y) 的联合分布律为 边缘分布为 12 边缘分布为 与有放回的情况比较， 但边缘分布却完全相同。 两者的联合分布完全不同， 若改为无放回摸球，则 (X, Y) 的联合分布律为 13 例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布为 解 求：(1) c； (1) 1 2 0 0 1 0.1 c 0.1 0.1 0.2 0.2 14 解 (1) 0.3 (2) 边缘分布 0.3 0.4 0.3 0.5 0.5 1 0 0.5 0.5 1 2 0 0 1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 1 2 0 0.3 0.4 0.3 求：(1) c； 例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布为 15 解 (1) 0.3 0.4 0.3 0.5 0.5 0.3 1 2 0 0 1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 求：(1) c； 例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布为 16 二、二维随机变量的分布函数 二维随机变量 (X, Y) X 和 Y 的联合分布函数 X 的分布函数 一维随机变量 X x x 17 二维随机变量分布函数的基本性质 18 边缘分布函数与联合分布函数的关系 即 同理, 二维随机变量 (X, Y) 作为一个整体, 用联合分布来刻画. 而 X 和 Y 都是一维随机变量, 各有自己的分布, 称为边缘分布. 19 例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合分布函数为 则边缘分布函数为 其中参数 20 说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。 边缘分布与参数λ无关。 21 三、二维连续型随机变量及其密度函数 1、联合分布 22 平面上的一个区域. 23 例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 解 (1) 由规范性 24 25 26 2、边缘分布 设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为 由于 所以 (X, Y) 关于 X 的边缘密度函数为 同理, 关于 Y 的边缘密度函数为 27 例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 解 (1) 由规范性 28 (2) X 和 Y 的边缘密度函数分别为 (3) 29 求：(1) c 的值；(2) 两个边缘密度； 解 (1) x y 0 1 例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 30 x y 0 1 (2) 所以 31 x y 0 1 所以 (2) 32 x y 0 1 33 设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机变量( X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布. 若( X,Y)服从区域G上的均匀分布, 则对于G中任一子区域D, 有 二维均匀分布 34 于是( X,Y)落在G中任一子区域D的概率与D的面积成正比, 而与D的形状和位置无关. 在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能”的。 35 例 解 随机向量(X,Y)的密度概率为 x y O 2 1 D 其他 36 解 随机向量(X