2.3 连续型随机变量及其分布（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

第三节 连续型随机变量 及其密度函数 1 一、概率密度函数 则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。 由定义，根据高等数学变限积分的知识知，连续型随机变量的分布函数是连续函数。 2 概率密度函数f(x)的基本性质： 3 概率密度函数 f (x) 的其他性质： 4 4 (1) 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为 0. 即, 对于任意常数 c, 有 (2) 若 X 是连续型随机变量, 则 说明： 而 {X = c} 并非不可能事件, 称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件. 可见， 由P(A) = 0, 不能推出 由P(B) = 1, 不能推出 5 解 例 已知随机变量 X 的概率密度函数为 确定系数 A，并求 X 的概率分布函数 F(x). 6 1 7 例 设随机变量 X 的分布函数为 解 8 9 例 设随机变量 X 的分布函数为 解 (1) (2) 10 所以 (3) 11 例 三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的寿命是随机变量(小时)，假设其概率密度为 且三个元件的工作状态相互独立．试求， (1) 该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正常工作的概率α； (2) 该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损坏的概率β。 12 解 (1) 该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正常工作的概率α； 表示“在使用了150个小时后，第k个元件仍然能正常工作”： 13 解 (2) 该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损坏的概率β。 14 练习： P70 习题二 5. 6. 16. 15 二、几种常见的连续型随机变量的分布 定义 如果随机变量X的概率密度为 则称 X 服从区间 (a, b) 上的均匀分布，记作 1、均匀分布 (Uniform Distribution) 16 它的分布函数为 17 这表明，X 取值于(a, b)内的任一区间的概率与区间的长度成正比，而与该区间的具体位置无关，这就是均匀分布的概率意义。 18 例 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率。 解 依题意， 以7:00为起点0,以分为单位， 为使候车时间少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 19 解 例 所求概率为 20 2、指数分布(Exponential Distribution) 定义 如果随机变量 X 的概率密度为 记为 分布函数为 规范性： 21 指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似。例如。电子元件的寿命。电话的通话时间。微生物的寿命。随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布。 指数分布有一个重要性质：“无后效性”或“无记忆性”。具体叙述如下： 证 22 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的. 值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布. 23 例 某电子元件的使用寿命 X 的概率密度为 解 (1) (1) 确定常数 k；(2) 求寿命超过100小时的概率； (3) 已知该元件已正常使用200小时，求它至少还能正常使用100小时的概率。 (2) (3) 24 例 假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数为0.1的指数分布．假设某人到达电话亭时有一人正在通话，试求: 解 (1) 此人至少需要等10分钟的概率α； (2) 此人需要等10到20分钟的概率β． 25 例 假设某种设备的使用寿命 X (年)服从参数为0.25的指数分布。制造这种设备的厂家规定，若设备在一年内损坏，则可以调换。如果厂家每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备厂家要花费300元，求每台设备所获利润 Y 的分布律。 解 X 的密度函数为 所以 Y 的分布律为 Y P 100 -200 26 3、正态分布 (Normal Distribution) 正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因。