2.1 随机变量与分布函数、2.2离散型随机变量及其分布（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

1 第二章 本章用定量的方法，从整体上来研究随机现象。 随机变量及其分布 2 §1 随机变量与分布函数 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数). 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 八月份杭州的最高温度； 每天从杭州下火车的人数； 昆虫的产卵数； 一、随机变量的概念和例子 3 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化. 例1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况. 我们引入记号： 显然，该试验有两个可能的结果： 于是我们就可以用 表示出现的是正面， 而用 表示出现的是反面。 X 就是一个随机变量。 4 定义 设随机试验E的样本空间是S，若对于每一个ω∈S, 有一个实数X(ω)与之对应, 即X=X(ω)是定义在S上的单值实函数，称它为随机变量(random variable, 简记为r.v.)。 X(ω) R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？ ω. 5 （1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值. （2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率. 随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 等表示. 随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。 6 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。 分类：实际中常遇到的随机变量有 两大类型 连续型随机变量 离散型随机变量 7 二、随机变量的分布函数 为了对各类随机变量作统一研究，下面给出既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变量的概念——随机变量的分布函数。 定义 设X为随机变量，称实函数 为X的分布函数。 x a x b 8 分布函数的基本性质： 证略 9 解 例 10 解 例 11 解 例 只有 (A) 相符. 12 第二节 离散型随机变量 13 一、离散型随机变量的分布律 如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值， 则称 X 为离散型随机变量. 对于离散型随机变量，关键是要确定： 1）所有可能的取值是什么？ 2）取每个可能值的概率是多少？ 称之为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布。 14 或写成如下的表格形式： 15 解 例 设随机变量 X 的分布律为： (1) 由规范性， (2) 16 例 袋中有2只蓝球3只红球，不放回抽取3只，记 X为抽得的蓝球数，求 X 的分布律。 X 可能取的值是 0,1,2， 解 所以X的分布律为 或表示为 17 例 设一汽车在开往目的地的路上需经过三组信号灯，每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数(设各盏信号灯的工作是相互独立的)，求 X 的概率分布. 依题意, X 可取值0, 1, 2, 3. 设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i =1,2,3 路口3 路口2 路口1 解 18 路口3 路口2 路口1 路口3 路口2 路口1 19 路口3 路口2 路口1 不难看出 所以 X 的分布列为 20 例 在下列情形下，求其中的未知常数a，已知随机变量的概率分布为： 解 (1) 由规范性, (2) 21 离散型随机变量的分布函数 设 X 为离散型随机变量，分布律为 则 22 解 例 设随机变量 X 的分布律为： 求 X 的分布函数 F(x) . 23 故 下面我们从图形上来看一下. 23 24 分布函数的图形 一般，离散型随机变量的分布函数呈阶梯形. 24 25 例 设随机变量 X 的分布函数为 解 试求 X 的分布律。 X P -1 1 3 0.4 0.4 0.2 26 二、几种常见的离散型随机变量的分布 背景: 作一次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布. 分布律为 或用公式表示 (一) 0-1分布(两点分布) 27 (二) 二项分布 (Binomial Distribution) 若随机变量 X 的分布律为 定义 则称 X 服从参数为n,p的二项分布， 记为 验证规范性： 背景: 作 n 次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布. 28 例 某人打靶, 命中率为 p = 0.8, 独立重复射击5次, 求： (1) 恰好命中2次的概率； (2) 至少命中2次的概率； (3)