1.4 事件的独立性与伯努利概型（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

第四节 事件的独立性 1 一、事件的独立性 设有两个事件A,B，一般来说，P(A|B)与P(A)是有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件A发生的概率，即P(A|B) = P(A)。 显然 P(A|B) = P(A) 这就是说，已知事件 B 发生，并不影响事件 A 发生的概率，这时称事件 A、B 独立。 A = {第二次掷出6点}， B = {第一次掷出6点}， 例如, 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 2 由乘法公式知，当事件 A、B 独立时，有 用 P(AB) = P(A) P(B) 刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A) 更好，它不受 P(B) > 0的制约，且体现对称性。 P(AB) = P(B)P(A|B) 若两事件A、B 满足 定义 P(AB) = P(A) P(B) 则称 A、B 独立。 P(AB) = P(A) P(B) 3 请问：如图的两个事件是独立的吗？ 即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥. 而 P(A) ≠0, P(B) ≠0, 故 A、B不独立. 由于互斥, P(AB)=0， 即 P(AB) ≠ P(A)P(B) 独立与互斥的关系 4 A、B 独立 证明 由独立的对称性，可得其余结论。 5 下面来定义三个事件的独立性。 定义 对三个事件A,B,C，如果下列四个等式同时成立， 则称A,B,C相互独立. 由定义可知，三个事件相互独立必保证两两独立，但两两独立不一定保证相互独立。 6 例 一个均匀的正四面体，其第一面染有红色，第二面染有黄色，第三面染有灰色，第四面染有红、黄、灰三种颜色，以A、B、C分别表示投一次四面体出现红、黄、灰色，讨论A、B、C三个事件的独立性。 解 显然有 虽然有 所以A、B、C 两两独立，但A、B、C 不相互独立。 7 推广到n个事件的独立性定义,可类似写出： 等式总数为： 需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之间无甚关联，则假定事件之间的独立性，然后利用独立性的公式来计算概率。 设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k (1<k n),任意1 i1<i2< …<ik n,具有等式 则称A1,A2, …,An为相互独立的事件。 8 对独立事件，许多概率计算可得到简化. 二、利用事件的独立性计算概率 9 9 例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 将三人编号为1，2，3， 所求概率为 记 Ai = {第 i 个人破译出密码} , i =1,2,3 解 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮” 10 10 例 假定人群中血清带肝炎病毒的概率为 0.004，混合10 个人的血清，求此血清带肝炎病毒的概率。 解 11 11 例 设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮? 解 (1) (2) 即至少需要 6 门高射炮。 12 例 某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年(每年52周)之久，你从未中过一次奖的概率是多少？ 解 按题设，每次中奖的概率是10 -5， 于是每次未中奖的概率是1-10-5， 十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的，故十年从未中奖的概率是 这个概率很大，表明十年中你从未中过一次奖是很正常的事。 13 13 （在可靠性理论中的应用）对于一个元件或系统，它能正常工作的概率称为可靠性。 … … 14 14 例 多个开关并联可以改善可靠性。设每个开关具有0.90的可靠性，如果两个这样的开关并联联接， 问这时系统的可靠性是多少？如果需要有一个可靠性至少为 0.9999 的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。 解 即系统的可靠性为 0.99； 即至少需要用 4 只开关并联。 15 15 课外读物 赌徒的谬误 很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？ 16 轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。 如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。 为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了五次国徽向上。这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱