1.3 条件概率与全概公式（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

第三节 条件概率与 三个概率公式 1 一、条件概率 对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则 P(A) = 1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为 2/3. 2 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3. 我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。 若记B为至少有一男孩，则上述概率为 3 条件概率的计算公式规定如下： 例 设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为放回摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则 不放回: 放回: 4 不难验证条件概率具有以下三个基本性质： (1) 非负性 (2) 规范性 (3) 可列可加性 并由此推出条件概率的其它性质： 5 二、乘法公式 由条件概率的定义： 即若P(B) > 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求 P(AB). 若P(A) > 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A) 推广到三个事件： P (A1A2…An ) = P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) 一般, 与次序无关。 乘法公式 6 例1 解 7 例2 某厂产品的废品率为4%，而合格品在中有75%是一等品,求一等品率。 解 记A：合格品；B：一等品， 即一等品率为 72%。 8 例3 从100件产品（其中有5件次品）中，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？ 解 设A= “第一次取到正品”，B= “第二次取到次品”， 则有 由乘法公式， 9 例4 若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若每把钥匙试开一次后除去，求在第 k 次试开成功的概率 ( k = 1, 2,…, n)。 解 则 思考：如果不除去呢？ 试开次数为 X， 10 例5 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而任意地按最后一个数字，试求：（1）不超过四次能打通电话的概率；（2）若已知最后一个数字是偶数，则不超过三次能打通电话的概率。 解 A 表示“拨号不超过四次拨通电话”， 则有 11 B 表示“已知最后一个数字是偶数，不超过三次能打通电话” ， 则有 例5 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而任意地按最后一个数字，试求：（1）不超过四次能打通电话的概率；（2）若已知最后一个数字是偶数，则不超过三次能打通电话的概率。 解 12 三、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A) P(A)>0 13 S A (即每次至多发生其中一个) (即每次至少发生其中一个) B1 B2 B3 B4 B6 B7 B5 B8 集合的划分 14 S A B1 B2 B3 B4 B6 B7 B5 B8 15 由概率的可加性及乘法公式, 有 这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式。 16 全概率公式 利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和。 17 例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％，且三家工厂的次品率分别为 3％、3％、1％，试求市场上该品牌产品的次品率。 B1、B2 、B3分别表示买到 设A:买到一件次品； 解 加权平均 一件甲厂、乙厂、丙厂的产品； 18 例2 第一个箱中有10个球，其中8个是白的；第二个箱中有20个球，其中4个是白的；现任取一箱，从中任取一球，问取到白球的概率是多少？ 解 设A表示取到第一箱，B表示取到白球， 由全概率公式， 19 例3 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？ 解 分别记A,B为