1.2 概率（课件）-《概率论与数理统计（第三版）》同步教学（人民大学）

第二节 概率 1 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率。 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量 事件发生的可能性 越大，概率就 越大！ 2 了解事件发生的可能性即概率的大小，显然很有实际意义. 对一个随机事件A，我们用一个数 P(A)来表示A发生的可能性大小，称之为随机事件A的概率。 那么，怎么来规定 P(A)的大小呢？ 3 定义 在相同的条件下进行n次试验,其中事件A发生的次数nA称为频数,比值nA/n称为频率,记为 fn(A). 既然概率P(A)度量了随机事件A发生的可能性大小，可以预料，在大量的重复试验中，若P(A)较大，则频率也较大; 反之，若P(A)较小，则频率也较小，而且概率P(A)应与频率有许多相似的性质。 一、概率的统计定义 当大量重复同一试验时，事件A发生的频率往往呈现一定的稳定性。 4 例 历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 5 例 英文字母被使用的频率相当稳定。 字母使用频率的研究，对键盘设计、铅字铸造、信息编码、密码破译等方面都是十分有用的。 6 这个性质称为频率的可加性。 规范性 还有，若A和B是两个互斥的事件，则应有 下面我们对频率的性质进行一番考察。 7 根据上述频率稳定性的讨论，似乎可以提出这样的猜想，即当n足够大时，fn(A)与P(A)应充分接近，这就是所谓的概率的统计定义。 定义 在相同的条件下，重复进行n次试验，如果当n足够大时，频率稳定在某定数p附近，则称p为事件A的概率，记作P(A)= p。 在不少实际问题中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为统计概率。这种确定概率的方法称为频率方法。 8 二、概率的古典定义 假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ωi ，比任一其它结果，例如ωj ，更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会. ω1, ω2, …ωN , 一般把这样的试验结果称为“等可能的”. 9 称这种试验为古典概型 (等可能概型). 若随机试验满足下述两个条件： 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 . 定义(概率的古典定义) 在古典概型下，若基本事件总数为 n，而事件 A 包含了其中的 k 个，那么事件 A 的概率为 (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 10 计数问题 排列组合是计算古典概率的重要工具. 基本计数原理 1、加法原理 设完成一件事有m类方式， 第一类方式有n1种方法， 第二类方式有n2种方法, …； 第m类方式有nm种方法, 则完成这件事总共有 n1 + n2 + … + nm 种方法 . 特点：一步完成 11 例如，某人要从甲地到乙地去, 甲地 乙地 可以乘火车, 也可以乘轮船. 火车有两班 轮船有三班 乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法? 3 + 2 种方法 回答是 12 基本计数原理 2、乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, …； 第m个步骤有nm种方法, 特点：多步完成 例如, A地到B地有两种走法, B地到C地有三种走法, C地到D地有四种走法, 则A地到D 地共有 种走法. 则完成这件事总共有 n1  n2  …  nm 种方法 . 13 特别, k = n 时称全排列， 排列、组合的定义及计算公式 1、排列: 从 n 个元素中取 k 个不同元素的排列数为： 阶乘 若允许重复, 则从 n 个元素中取 k 个元素的排列数为： 注意 14 2、组合: 从 n 个元素中取 k 个元素的组合数为： 15 古典概率计算举例 掷