第17章 勾股定理（单元测试·基础卷）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第17章 勾股定理（单元测试·基础卷） 【要点回顾】 【要点一】勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 【要点二】勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立. 【要点三】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A． B． C． D． 2．消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（ ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 3．公园有一块长方形草坪，芳芳同学发现有极少数人为了走捷径，践踏草坪走出了一条路，为了倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在处立一个标牌：“小草青青，脚下留情” ．经过测量得知：两处的距离为两处的距离为则践踏草坪少走的距离是（    ） A． B． C． D． 4．如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，已知点，点在轴负半轴上，若将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 6．已知成比例的四条线段的长度分别为，，，，且的三边长分别为，，，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定 7．如图，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称．甲、乙两位同学各给出了自己的说法：甲：若，则是等边三角形；乙：若，则．对于两位同学的说法，下列判定正确的是（   ）    A．甲正确 B．乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 8．如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（    ） A． B． C． D． 9．四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为，空白区域所示的小正方形面积为．将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．12 D．18 10．如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是 ． 12．小亮家有一个高3 m、宽2 m的大门框（如图），为了防止其变形，他在对角线（图中虚线）的两端点间加固两根木条，则其中一根木条的长度为 m． 13．若Rt△ABC两