8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、 圆台、球的表面积和体积 一、创设情境 引入新课 前面我们学习了几个常见的多面体，棱柱、棱锥和棱台.明确了它们的定义及相关概念. 请欣赏下面几幅图片，本节我们就来学习旋转体的表面积和体积. 二、探究新知 理解概念 问题1 棱柱、棱锥和棱台的表面积是什么？ 提示：表面积=侧面积+底面积. 探究1 圆柱、圆锥、圆台和球等多面体的结构 问题2 棱柱、棱锥和棱台的体积是什么？ 问题3 下面的几何体与多面体不同，仔细观察这些几何体，它们有什么共同特点或生成规律？ 问题1 圆柱、圆锥、圆台等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，那么它们的侧面展开图是什么呢？ 探究2 圆柱、圆锥和圆台的表面积 提示：将圆柱、圆锥和圆台沿一条母线剪开，展开在一个平面上. 问题2 如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积？ （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为l，则侧面积S圆柱侧=2πrl. O′ O （2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆的圆周，因此该扇形的圆心角 ,r为圆锥地面半径，l 为圆锥的母线长，根据扇形面积公式可得： S圆锥侧=·2πr·l=πrl 其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径. （3）圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，母线长为l，则 S圆台侧=π(r+R)l=(c1+c2)l 其中r，R分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线. 问题3 我们知道了圆柱、圆锥、圆台侧面积的求法，那么它们的表面积又如何算呢？ 问题1 根据之前所学棱柱的体积，如何求圆柱的体积呢？ 探究3 圆柱、圆锥和圆台的体积 柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即 V柱体=Sh 特别地，底面半径是r,高是h的圆柱的体积 问题2 根据之前所学棱锥的体积，如何求圆锥的体积呢？ 锥体的体积等于它的底面积S和高h的积的三分之一，即 特别地，底面半径是r,高是h的圆锥的体积 问题3　根据之前所学棱台的体积，如何求圆台的体积呢？ 台体的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面面积分别为S′， S，高是h，即 特别地，如果圆台的上下底面的半径分别是r,r′,高是h,则它的体积是 问题1　 在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体，那么如何进行计算呢？ 探究4 球的表面积和体积 问题2：球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的表面积？ 提示：设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 如果球的半径为R，那么它的表面积是 第 1 步 分 割 O 则球的体积为： 设“小锥体”的体积为：ΔVi O 球面被分割成n个网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”. 问题3：你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 提示：类比利用圆周长求圆面积的方法，可以利用球的表面积求球的体积. O 第 2 步 求 近 似 和 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的地面就越平，“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是 O O 第 3 步 转化为准确 和 由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积是 O 三、举例应用 掌握概念 例1.看图回答问题 例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm， 底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外 观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的 花盆需要多少油漆（取π=3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？ 解 花盆外壁的表面积： 涂100个花盆需油漆：0.1×100×100=1000（毫升） 所以涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆. 例3　如图，几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积. 例3　如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3米，圆柱高0.6米.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5千克涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） . 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 四、学生练