8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、 圆台、球的表面积和体积 一 、新课导入 上节课我们学习了棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，那么圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积如何计算呢？ 二、新知探究 1、圆柱的表面积 O 圆柱的侧面展开图是矩形 圆柱、圆锥、圆台的表面积 2、圆锥的表面积 圆锥的侧面展开图是扇形 O 二、新知探究 3、圆台的表面积 【探究1】参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想圆台的侧面展开图是什么 ？ O O’ 圆台的侧面展开图是扇环 二、新知探究 【探究2】 3、圆台的表面积 二、新知探究 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 二、新知探究 r’=r 上底扩大 r’=0 上底缩小 r r’ l 二、新知探究 二、新知探究 圆柱、圆锥的体积公式 【想一想】我们以前学习过圆柱、圆锥体积公式? 1、圆柱、圆锥的体积 二、新知探究 圆柱、圆锥、圆台的体积 2、圆台的体积 【思考】圆台的体积公式你能够证明吗？ ｈ 二、新知探究 圆柱、圆锥、圆台的体积公式 二、新知探究 S为底面面积，h为锥体高 S分别为上、下底面面积，h 为台体高 S为底面面积，h为柱体高 上底扩大 上底缩小 二、新知探究 二、新知探究 球的表面积和体积 【提出问题】球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？ 二、新知探究 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 如果球的半径为R，那么它的表面积是 二、新知探究 球的表面积和体积 h 实验：排液法测小球的体积 小球的体积 等于 它排开液体的体积 H 球的表面积和体积 二、新知探究 球的表面积和体积 二、新知探究 球的表面积和体积 割 圆 术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想． 极限思想 二、新知探究 第 1 步 分 割 O 则球的体积为： 设“小锥体”的体积为： O 球的表面积和体积 二、新知探究 球面被分割成n个网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”. O 第 2 步 求 近 似 和 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的地面就越平，“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是 球的表面积和体积 二、新知探究 O O 第 3 步 转化为准确 和 由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积是 球的表面积和体积 二、新知探究 O 球的表面积和体积公式 球的表面积和体积 二、新知探究 球的表面积和体积 二、新知探究 球的表面积和体积 二、新知探究 【例4】如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和 展开图 圆台 圆柱 圆锥 三、课堂小结 26 柱体、锥体、台体的体积 锥体 台体 柱体 三、课堂小结 27 教材P119·练习第1、2、3、4题， 习题第4、5题. 四 、布置作业 如果圆台的上、下底面半径分别为 ,母线长为,你能计算出它的表面积吗？ 根据相似三角形得出 ，那么 ， 那么扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积 即 ， 所以圆台表面积为 ． （ 是底面半径， 是母线长） （ 是底面半径， 是母线长） （ ， 分别是上、下底面半径， 是母线长） 【思考】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 【例1】如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1．5 cm，盆壁长15 cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆． 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升，可用计算器）？ 解：由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 所以涂100个花盆需油漆： (毫升）． 答：涂100个这样的花盆约需1000毫升油漆． 【分析】油漆位置在什么地方？→ 如何求花盆外壁表面积？ 只要求出每个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量． 而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积． （ 是底面半径， 是高） （ 是底面半径， 是高） 【说明】由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 （ ， 分别是上、下底面半径， 是高）. 【分析】如图，设 ，上下底面的半径分别为 和 ， 圆台的上下底面积分别为 和 ． （