4.2.2 等差数列前n项和的最值及应用 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

07等差数列前n项和的最值及应用 课标要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题， 素养要求通过利用等差数列的前项和公式解决实际应用问题，发展数学建模 和数学运算素养， 问题导学预习教材·必备知识探究 一、等差数列前n项和Sn的函数特征 前n项和公式：Sm=nam+n(n-1)2d=d2n2+as4 al col1al-fid2)n. 温馨提醒由Sw=na十n(n一1)2d,可知Sm=cd2m2+als4 alcol(al一fd2n, 当d≠0时，Sm是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N,公差的符号 决定了该二次函数的开口方向，通常简记为S,=An2十Bn. 二、等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a>0,d0时，Sn有最大值，使S,取到最值的n可由不等式组am20,am+1≤ 0)确定； 当a<0,cd0时，S,有最小值，使S,取到最值的n可由不等式组am≤0，am十2 01确定 (2)因为S,=cd2n2+las4 alcol(al一fd2)n,若d≠0，则从二次函数的角度看： 当0时，Sm有最小值：当0时，S,有最大值，且n取最接近对称轴的自然数 时，S取到最值 温馨提醒由于n取正整数，所以S不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离 顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值 互动合作研析题型·关键能力提升 题型一等差数列前n项和最值问题的判断 例1（多选）在等差数列{am}中，首项a1>0,公差d≠0，前n项和为S,n∈N,则 下列命题正确的是() A若S3=S1,则必有S4=0 B.若S3=S1,则S,是{Sw}中的最大项 C,若S>S8,则必有SsSg D.若S>Sg,则必有S6S8 答案ABC 解析根据等差数列的性质，若S=S1, 则S1一S3=4(a十ag)=0,则a1十ag=0, S4=14(a1+a14)2=7(a+ag)=0: 根据Sm的图象，当S3=S1时，对称轴是3+112=7，且k0,那么S,是最大值： 若S7>Sg,则ag0,且d0,所以ag0,所以Sg一Sg0,即SgSg; S8一S6=as十a?=2as一d,符号不确定，所以ABC正确」 思维升华一般地，在等差数列{an}中，若a>0,且Sp=Sp≠g,则①若p十g 为偶数，则当n=p+q2时，Sn最大；②若p十q为奇数，则当n=p十q一12或n =p+q十12时，Sn最大 训练1（多选）设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S<S6=S>Sg,则下列结论 正确的是() A.d0 B.a=0 C.So>Ss D.S6与S,均为S,的最大值 答案ABD 解析，'S<S6=S>Sg, ∴.a60,a=0,a80. .0. ∴S6与S7均为Sn的最大值 S9-Ss=a6+a7+as+ag=2(a7+as)<0. ∴.Sg<S5,故选ABD. 题型二等差数列前n项和最值的计算 例2数列{an}的前n项和Sn=33n一n2, (1)求{am}的通项公式： (2)求{am}的前多少项和最大？ 解(1)法一（公式法）当n≥2时，an=S,-Sm-1=34一2n, 又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1,满足am=34-2n. 故{am}的通项公式为am=34一2n 法二（结构特征法）由Sm=一n2+33n知S,是关于n的缺常数项的二次型函数， 所以{an}是等差数列， 由Sn的结构特征知f(d2d2)=33, 解得a=32,d=-2,所以an=34一2n. (2)法一（公式法）令am≥0，得34-2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零 又a17=0,故数列{am}的前16项或前17项的和最大. 法二（函数性质法）由y=一x2+33x的对称轴为x=332,距离332最近的整数为 16,17. 由Sm=-nm2+33n的图象可知： 当n≤17时，au≥0， 当n≥18时，an<0, 故数列{an}的前16项或前17项的和最大 迁移将例题中的条件“Sm=33n一n2”变为“在等差数列{am}中，a41=25,S17= S”,求其前n项和Sn的最大值， 解法一，∵Sg=S7,a1=25, .9×25+9(9-1)2d=17×25+17(17-1)2d, 解得d=-2. Sm=25n+n(n-1)2×(-2)=-n2+26n =-(0n-13)2+169 .当n=13时，Sm有最大值169. 法二由Sg=S17,得a10十a1十…十417=0. 由等差数列的性质得a43十a4=0. 因为a>0,所以a13>0,a14<0. 故当n=13时，Sm有最大值169. 思维升华在等差数列中，求S的最大（小）值的方法 ()利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为 最大（小）