4.2 等差数列的性质 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

05等差数列的性质 课标要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质2.能运用等差数列 的性质简化计算。 素养要求通过推导等差数列的相关性质及应用其解决一些问题，发展逻辑推理 和数学运算素养 问题导学预习教材·必备知识探究 一、由等差数列构造新等差数列 (I)若{an},{bn分别是公差为d,的等差数列，则有 数列 结论 {c十an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) Acan 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an十an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N {pan十qbn} 公差为pd十qgd的等差数列(p,q为常数) (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列， 二、等差数列通项公式的变形及推广 (I)an=dn+(a1-d0n∈N, (2)an=am+(n-m)d(m,neN), (3)d=am-amn一m(m,n∈N,且m≠n), 温馨提醒灵活利用等差数列的变形，可以减少计算量. 三、等差数列两项或多项之间的性质 {a}是公差为d的等差数列，若正整数m,n,p,g满足m十n=p十q,则am十 am=a十ag ①特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N时，am十am=2ak ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即1 十am=a2十am-1=…=ak十am-k+1=… 温馨提醒(1)推广：若m十n十p=x十y十z,则am十a,十a,=a,十a,十a(2)该性 质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同！ 互动合作研析题型·关键能力提升 题型一a,=am十(n一m)d的应用 例1在等差数列{an}中，已知a2=5,ag=17,求数列的公差及通项公式. 解因为ag=a2十(8-2)d, 所以17=5+6d,解得d=2. 又因为an=a2十(0n-2)d, 所以am=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N* 思维升华灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m=1,a,=am 十(n一m)d即变为an=a1十(n一1)d,可以减少记忆负担 训练1己知{bn}为等差数列，若b3=-2,b1o=12,则bg= 答案8 解析法一，b}为等差数列，∴.可设其公差为d, 则d=b10-b310-3=12-(-2)7=2, .bn=b3十(n-3)d=2n-8, .bg=2X8-8=8. 法二由b8-b38-3=b10-b310-3=d, 得bg=b10-b310-35+b3=2×5+(-2)=8. 题型二等差数列的性质 例2(1)已知等差数列{am}中，a3十a6=8,则5a4十a=() A.32 B.27 C.24 D.16 (2)若关于x的方程x2-2x十m=0和x2-2x+n=0(m≠n)的四个根可组成首项为 14的等差数列，则m一n的值是 答案(1)C(2)12 解析(1)法一设等差数列{an}公差为d,则a3十a6=2a1+7d=8, 所以5a4十a7=6a1+21d=3(2a1+7d)=24. 法二在等差数列中，m十n=p十q, 则am十an=ap十ag ∴.a2十a6=43十a5=2a4, ∴.5a4十a=a2+a3十a4十as+a6+a 又a2十a1=a3+a6=a4+a5. .5a4十a7=3(a3+a6)=3X8=24 (2)设a,b为方程x2-2x十m=0的两根，则a十b=2,c,d为方程x2一2x+n=0 的两根，则c+d=2, 而四个根可组成一个首项为14的等差数列， 现假定a=14,则b=2-14=74. 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和， ∴.这个等差数列的顺序为14，c,d,74. 则c=34,d=54, .m=ab=716,,∴.n=cd=1516. ∴.m-n=f71516)=12. 迁移本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3十a4十as十a6十a=450”,求a2 +as. 解法一：在等差数列{an}中a3十a=a4十a6=2as, .(a3+a)+(a4十a6)+a5=5a5=450. 解得a5=90. ∴.a2十as=2a5=180. 法二设等差数列a的首项为a,公差为d 根据a=a十(n一1)d, .a3十a4+a5+a6+a7=54+20d=5(a1+40=450. ∴.a+4d=90. 而a2+a8=2a1+8d=2(a1+4d=2×90=180. 思维升华等差数列性质的应用技巧 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解 题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质： (I)若m十n=p十g(m,n,P,g∈N),则am十a,=a,十ag,其中am,a,,ag是 数列中的项。 (2)若m十n=2p(m,n,p∈N),则am十am=2ap 训练