4.1数列的概念讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 DISIZHANG 数列 01 数列的概念与通项公式 课标要求1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（表格、 图象、解析法).2.了解数列是一种特殊函数： 素养要求从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数 列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，发展数学抽象和逻辑推理素养 问题导学预习教材·必备知识探究 一、数列的概念及一般形式 (1)数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号4表示，第二个位置 上的数叫做这个数列的第2项，用2表示…第n个位置上的数叫做这个数列的 第n项，用gu表示其中第1项也叫做首项 (3)一般形式：数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{am} 温馨提醒表示数列时不要漏写“：}”，这里的小写字母α也可以换成其他小 写英文字母 二、数列的分类 数列的分类 类别 含义 按项的个 有穷数列 项数有限的数列 数 无穷数列 项数无限的数列 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 按项的 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 变化 常数列 各项都相等的数列 趋势 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于 摆动数列 它的前一项的数列 温馨提醒 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不 能有例外 三、数列的通项公式 如果数列{an的第n项a与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 四、数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N(或它的有限子集1,2,3，…，) 解析式 数列的通项公式 自变量从1开始，按照丛小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数 值域 值构成 表示方法 (1)通项公式（解析法）：(2)列表法：(3)图象法 温馨提醒 用图象法表示数列时，其图象是一些离散的点， 互动合作 研析题型·关键能力提升 题型一数列的概念与分类 例1(1)（多选）以下四个数列中的递增数列是() A1,12,14,18,… B.sinπ7，sin2π7，sin3π7，… C.-1,-12,-14,-18,… D1,2,3,,21 (2)给出以下数列： ①2015~2023年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82,93,105,118， 132,147,163,180,198: ②无穷多个3构成数列3,3,3,3，·： ③一2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列一2,4，一8,16，一32，…. 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,常数 列是 摆动数列是 (填序号) 答案(1)CD(2)①②③①②③ 解析1)A是递减数列；B是摆动数列；C,D是递增数列 (2)①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆 动数列. 思维升华1.有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列， 只需观察数列是有限项还是无限项若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷 数列. 2.数列{an}的单调性：若满足awan+1(n∈N则是递增数列；若满足ar>aw+1(n∈N )则是递减数列：若满足am=a+1(n∈N)则是常数列；若an与am+1(n∈N的大小 不确定时，则是摆动数列， 训练1己知以下数列： ①2,4,8,12： ②0,12,23…，n-1n,…: ③1,13,19，…，13n-1,…: ④1，-23,35，…，(-1)n-1n2n-1,…: ⑤1,0，-1，…，sin na2, ⑥7,7,7,7,7,7. 其中递增数列是 :递减数列是 (填序号) 答案①②③ 题型二由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例2写出下面各数列的一个通项公式： (1)12,34,78,1516,3132,…: (2)6,66,666,6666,…: (3)-1,32,-13,34,-15,36,…: (4)32,1,710,917,… 解(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为2,22,23， 24,25,所以它的一个通项公式为am=2n一12n (2)这个数列的前4项可写为69(10一1)，69102-1)，69(103-1)，69(104一1)， 所以它的一个通项公式为am=69(10"-1)=2310”一1) (3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2， 3,4,5,6,分子依次为1,3,1,3,1,3， 所以它的一个通项公式为 a=-f1n3n,n=2k,k∈V$ (4)将数列变形为32,55,710,917，…， 对于分子3,5,7,9，…，可得分子