4.4 数学归纳法 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

13数学到归纳法 课标要求1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单 命题， 素养要求 通过利用数学归纳法证明与自然数门有关的数学命题，发展逻辑推理 和数学运算素养 问题导学预习教材·必备知识探究 一、数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基)证明当n=no(no∈N)时命题成立： (2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N,k≥no)时命题成立"为条件，推出“当n=k+1 时命题也成立”，只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0开始的所有正整数 n都成立，这种证明方法称为数学归纳法 二、数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P()是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P代no)为真：(2)若P为真，则Pk+1也为真，结论：P)为真. (I)第一步验证（或证明）了当n=no时结论成立，即命题Pno为真： (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若k)为真.则P (k+1)也为真 只要将两步交替使用，就有Pno)为真，Pno十1)真，..Pk)真，Pk+1)真. 从而完成证明。 温馨提醒利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述= o时命题的形式，二是要准确把握由n=k到n=k+1时，命题结构的变化特点」 并且一定要记住：在证明=k+1成立时，必须使用归纳假设 互动合作研析题型·关键能力提升 题型一用数学归纳法证明等式 例1用数学归纳法证明： 121×3+223×5+..+n2(2n-1)(2n+1)=n(n+1)2(2n+1)(n∈N ). 证明(1)当n=1时，121×3=1×22×3成立， (2)假设当n=kk∈N)时等式成立. 即有121×3+223×5+..+k2(2k-1)(2k+1) =k(k+1)2(2k+1), 则当n=k+1时. 121×3+223×5+..+k2(2k-1)(2k+1)+(k+1)2(2k+1)(2k+3) =k(k+1)2(2k+1)+(k+1)2(2k+1)(2k+3) =(k+1)(k+2)2(2k+3). 即当n=k+1时等式也成立. 由(1)，(2)可得对于任意的n∈N等式都成立. 思维升华用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值0时等式两端项 的情况：二是弄清从n=k到n=k+1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪 些项，减少了哪些项；三是证明=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳 假设建立联系，并向n=k十1时证明目标的表达式进行变形. 训练1用数学归纳法证明：1+3×2+5×22+..+(2n一1)×2n-1=2n(2n一3) +3(n∈N). 证明(1)当n=1时，左边=1，右边=2(2一3)+3=1，左边=右边，所以等式 成立 (2)假设当n=k(k∈N)时，等式成立， 即1+3×2+5×22+.+(2k-1)×2k-1=2k2k-3)+3. 则当n=k+1时.1+3×2+5×22+..+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k =2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k =2《4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3. 即当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N都成立. 题型二用数学归纳法证明不等式 例2数列{an满足an+1=an2an+1,a1=1. (1)证明：数列1f(1an)是等差数列： (2)求数列1f(1an)的前n项和Sn,并用数学归纳法证明1S1+1S2+..+1Sn >nn+1. (1)证明，an+1=an2an+1, .1an+1=2an+1an,化简得1an+1=2+1an, 即1an+1-1an=2 故数列|f1an)是以1为首项，2为公差的等差数列. (2)解由(1)，知Sn=n2 当n=1时，1S1=1,nn+1=12.不等式显然成立. 假设当n=kk≥1，k∈N)时，不等式成立，即1S1+1S2+.+1Sk>kk+1, 则当n=k+1时，1S1+1S2+..+1Sk+1Sk+1>kk+1+1(k+1)2, 又kk+1+1(k+1)2-k+1k+2=1-1k+1+1(k+1)2-1+1k+2 =1k+2-k(k+1)2=1(k+2)(k+1)2>0. ∴.1S1+1S2+..+1Sk+1Sk+1>k+1k+2. 综上，原不等式成立 思维升华用数学归纳法证明不等式的四个关键： 关键 验证第I个n的取值时，要注意n。不一定为 点 【,若条件为>，则n。k+1 证明不等式的第二步中，从n=k到n=k+1 关键 的推导过程中，一定要应用归纳假设，不 点二 应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因 为缺少“归纳递推” 应用归纳假设后，若证明方法不明确，可 关键 采用分析法证明