5.1 导数的概念及其运算-2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1 导数的概念及其运算 1 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示， 则式子称为函数从到的平均变化率. Eg 函数在区间上的平均变化率为．它与斜率相等. 2 导数概念 函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 3 导函数 若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即 4 导数的计算 基本初等函数的导数公式 5 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 特别：，为常数； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”. 6 复合函数的导数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 Eg若，设，， 则. 【题型1】 导数概念的理解 【典题1】 函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则的大小关系是(　　) A． B． C． D．大小关系不能确定 【典题2】函数在区间内可导，且，则=(　　) A． B． C． D．不确定 【典题3】求. 【巩固练习】 1. (★) 某物体做自由落体运动的位移，若，则是该物体(　　) A.从到这段时间的平均速度 B.从到这段时间的平均速度 C.在这一时刻的瞬时速度 D.在这一时刻的瞬时速度 2. (★)某物体做自由落体运动的位移，若，则是该物体(　　) A．从这段时间的平均速度 B．从这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 3. (★)如图， 从上端口往一高为 的水缸匀速注入水， 水注满所用时间为 . 若当水深为 时， 水注入所用时间为 ， 则函数 的图像大致是 A. B. C. D. 4. (★)函数的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是(　　) A． B． C． D． 5. (★)已知函数是可导函数，且，则(　　) A． B． C． D． 6. (★)已知函数处的导数为，则(　　) A． B． C． D． 7. (★)年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部枚金牌，杨健以的总分获男子十米台决赛金牌．若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度米)与起跳后的时间秒)存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为(　　)米/秒 A. B. C. D. 8. (★) (★★★) 求. 【题型2】 导数的运算 【典题1】 求下列函数的导数: (1) ； (4) ； (5) ； (6) . 【典题2】若函数 满足 ， 则 A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【巩固练习】 1. (★) 下列求导数的运算中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2. (★) 已知函数 ， 则 在 处的导数是 A. B. C. D. 3. (★)已知函数是的导函数， 则 ( ) A. B. C. D. 4. (★)已知函数， 则 A. -3 B. 0 C. -2 D. 2 5. (★★)已知函数， 其导函数记为， 则 2022) A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 6. (★★)求下列函数的导数: (1) (3) . 【题型3】 新定义问题 【典题1】已知 ， 例如 ， 则 . 若 ， 则 . 【巩固练习】 1. (★★) 对于二元函数，若存在， 则称 为 在点 处对 的偏导数， 记为 ，； 若 存 在 ， 则 称 为 在点 处对 的偏导数， 记为 ， . 已知二元函数 ， 则 的最小值为 . 2. (★★)已知