6.3 平面向量的基本定理及坐标表示-2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示 知识点一 平面向量的基本定理 1 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. PS 唯一性的解释 若不共线，且则 2 正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； 如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力. ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，就是以原点为起点，点为终点的向量. 知识点二 平面向量数乘运算与数量积的坐标表示 1 坐标运算 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)若，，则  (4)实数与向量的积 (5)数量积 (6)夹角余弦值 2 平面向量位置关系 若 ， . 证明 (1) 的充要条件是存在实数，使得 ，所以， 所以，消得. (2) 因为，所以与的夹角为， 所以，又，所以. 【题型1】 平面向量的基本定理的理解 【典题1】 已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是(　　)[来源:Z，xx，k.Com] A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★) 若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（　　） A. 不可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. 若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 2. (★)若不共线，且，则(　　) A． B． C． D． 3. (★)设是平面的一组基底，且，则________． 【题型2】 平面向量的基本定理的运用 【典题1】如图，在长方形中，，分别为线段，的中点，若，则 . 【巩固练习】 1. (★)在平行四边形中，分别是边的中点，若，其中，则 ． 2. (★★)如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为 ． 3. (★★★)如图，在中，设，，的中点为，的中点为，的中点为，若，则对应的值为 ． 4. (★★★)如图在中，是边的中点，是边上靠近的三等分点，与交于点．设． (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于．设，求的值． 【题型3】 平面向量的坐标表示 【典题1】 已知向量，若，则的夹角大小为______． 【典题2】设向量其中 为坐标原点若 三点共线，则的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 【巩固练习】 1. (★) 已知向量，，若，则实数的值为( ) A． B． C． D． 2. (★) 已知平面向量，，则下列命题中正确的有( ) A． B． C． D． 3. (★★)已知下述四个结论中正确的是　　 A． B．四边形为平行四边形． C．与夹角的余弦值为 D． 4. (★★)已知向量 ， 则 ( ) A. 若 ， 则 B. 的最小值为 -1 C. 可能成立 D. 的最大值为 3 5. (★)已知向量，，且，则　　． 6. (★★)已知向量且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 7. (★★★)如图，在平面直角坐标系中． (1)求点的坐标；(2)求证：四边形为等腰梯形． 【题型4】 利用建系处理向量问题 【典题1】 如图， 已知正方形 的边长为 4， 若动点 在以 为直径的半圆上(正方形 内部， 含边界)， 则 的取值范围为 A. B. C. D. 【典题2】已知直角梯形中，，，过点作，垂足为点，为的中点，用向量的方法证明： (1)；(2)，，三点共线． 【巩固练习】 1. (★★) 如图，已知若(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2. (★★)如图，在直角梯形中，已知，∠，，，对角线交于点，点在上，且满足，则的值为　　． 3. (★★★)如图，在直角梯形中，角是直角点为的中点． (1)当时， (用表示)； (2) 的最小值是 ，此时实数的值为 ． 4. (★★★)在平面上．若则的取值范围是 5. (★★★)如图， 已知两个单位向量和向量与的夹角为，