6.2 立方根 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第六章 实数 6.2 立方根 知识梳理 1、立方根 （1）一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。 这就是说，如果，那么叫做的立方根. 【例】因为，所以的立方根是； 因为，所以的立方根是。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算. （3）一个数的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，是根指数.如，. 2、立方根的性质 （1）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. （2）立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 ②. 3、平方根与立方根的区别和联系 内容 平方根 立方根 区别 性质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 4、用计算器求一个数的立方根的方法 一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，最后按键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开方数，最后按键． 例题讲解 【题型一】立方根的概念和性质 【例1.1】已知，则下列说法正确的是（　　） A． 是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【例1.2】下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．任何数的立方根都只有一个 C．负数没有立方根 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 【例1.3】已知的立方根为3，求的立方根. 【例1.4】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 【例1.5】若和互为相反数，则的值为 ． 【题型二】开立方运算 【例2.1】下列语句正确的是（  ） A．的立方根是 B．是的负的立方根 C．的立方根是 D．的立方根是 【例2.2】求下列各式的值： （1）　 ； （2）　 　； （3）　 ； （4）　 　． 【题型三】用计算器进行开立方运算 【例3.1】已知，，，聪明的同学你能不用计算器得出． （1） ． （2） ． 【例3.2】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝　　 ；y＝　 　； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知3.16，则　 　； ②已知1.8，若180，则a＝　 　； （3）拓展：已知，若，则z＝　 　． 【题型四】利用开立方解方程 【例4.1】求下列各式中的x的值． （1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（x+1）3＝8． 【题型五】平方根与立方根的综合 【例5.1】若|x﹣1|+（y﹣2）20，则x+y+z的立方根是 　 ． 【例5.2】若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【例5.3】已知x2＝9，y3，且xy＜0，求2x+4y的算术平方根． 【题型六】立方根的应用 【例6.1】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【例6.2】大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ． 变式训练 1．64的立方根是(　　) A．4 B．±4 C．8 D．±8 2．的立方根是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（　　） A．3的平方根是 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1 4．下列运算中正确的是(　　) A． B． C． D．(﹣3)2＝6 5．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：      则输出结果为（   ） A．8 B．4 C． D． 6．的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 7．小明利用计算器得到下表中的数据： 8 8.5 9 9.