4.2 等差数列 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2等差数列同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 2．若直线l与三次函数有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线l （    ） A．经过定点 B．不经过定点 C．斜率为定值 D．斜率可为任意实数 3．已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 4．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前60项和（    ） A． B．5 C．59 D．60 5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 6．设等差数列的前项和为，已知：，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知正项等差数列的前项和为，且，．则（    ） A． B． C． D． 8．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是（    ） A．61 B．66 C．90 D．91 二、多选题 9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 10．已知等差数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列为单调递减数列 D．取得最大值时， 11．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ． 14．在等差数列中，，则 . 15．已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ． 16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ． 四、解答题 17．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值． 18．已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30. (1)求这个等差数列的通项公式； (2)若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 19．已知正项数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合． 20．已知为数列的前项和，且. (1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 21．已知等差数列的前项和为，且，，. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】， 则. 故选：A. 2．A 【分析】先设三个交点，由题意得出,再得出定点即可. 【详解】设这三个交点的坐标分别为，，由题意可得， 由于三次函数的图像是中心对称图形，由可知，为对称中心， 即直线l经过定点是三次函数的对称中心. 故选:A． 3．B 【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可. 【详解】根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即时，取“”号. 故选：B. 4．B 【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】因为是方公差为2的等方差数列， 所以是公差为2的等差数列， 所以，解得， 又，所以， 所