5.1.2 导数的概念及其几何意义 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 5.1 导数的概念及其意义 复习引入 两类变化率问题: (1)跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 (2)抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题． h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11 f(x)＝x2 1、平均变化率 探究新知 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x) 从x0到x0＋∆x的平均变化率. 2、导数的定义 探究新知 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或 ，即 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 说明： (1)函数f(x)在点x0处可导，是指∆x→0时， 有极限．如果 不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数． (2)∆x是自变量x在x0处的改变量，∆x≠0，而是函数值的改变量，∆y可以是零. 探究新知 探究：根据导数的定义，我们再来重温前面2个问题情境，你能用导数重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即 问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即 实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等． 巩固练习 1、下列说法中，正确的打“√”，错误的打“×” (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (4)函数在某一点处的导数是一个可以变化的数. (　　) (5)导数就是瞬时速度. (　　) (6)因为导数是平均变化率的极限，所以函数在其定义域内都有导数. (　　) × √ × × × × (2)平均变化率才是；(3)Δy可以为0；(4)必须是一个常数；(5)要看横纵坐标是什么。导数的物理意义就是刻画瞬时速度；(6)不一定都有导数，比如y=1/x。 典型例题 1、设f(x)＝ ，求f′(1). 追问：对于f(x)＝ ，你能求f′(a)(a∈R且a≠0)吗？ 方法归纳 求函数 y＝f (x)在x＝x0处导数的步骤: (1)求平均变化率 (2)取极限，得导数 典型例题 2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度(单位：℃)为y=f(x)＝x2-7x＋15(0≤x≤8).计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和 f′(6). 分析：原油温度在第2 h时的瞬时变化率，从数学角度求的是什么？ =Δx-3 说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降. 在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升. 根据导数的定义， 典型例题 3、一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位：m/s) 为y=v(t)＝-t2+6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6). 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s. 根据导数的定义， =-Δt+2 课堂小结 回顾本节课的内容，思考： 1、什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？ 2、计算导数的步骤是什么？ 3、本节课蕴含了什么思想方法？ $$