辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2023-2024学年高三下学期2月摸底考试数学试题

2023—2024学年度高三（二月）摸底考试 数学试卷 命题：高三数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，若为纯虚数，则 A. B. C. D. 3. “φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点” A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 中，，点M在边AB上，且满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是 A. B. C. D. 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，．则的值（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数对定义域R内的任意都有，且当时其导函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分 9. 给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ） A. 中位数为3 B. 方差为 C. 众数为3 D. 分位数为4.5 10. 已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是递减数列 B. 若，则数列无最大值 C. 若数列为等比数列，则为等比数列 D. 若数列为等差数列，则为等差数列 11. 已知椭圆离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ） A. 当不与左、右端点重合时，的周长为定值 B. 当时， C. 有且仅有4个点，使得为直角三角形 D. 当直线的斜率为1时，直线的斜率为 12. 设，，定义（，且为常数），若，，． ①不存在极值； ②若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则； ③若在上是减函数，则实数的取值范围是； ④若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直． 其中真命题的序号有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于______. 14. 的展开式中的系数为______． 15. 若曲线的切线的倾斜角的取值范围是，则______. 16. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出完整的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知各项均为正数的数列满足：，且. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 18. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． （1）求角的大小； （2）求取值范围 19. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点． （1）求证：； （2）当二面角大小为时，求与底面所成角的正切值． 20. 为了参加锦州市教育局主办的《中国汉字听写大会》节目，附育高中范老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习3个汉字以及正确注释，每周五对一周内所学汉字随机抽取若干个进行检测（一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同）． （1）范老师随机抽了4个汉字进行检测，求至少有3个是后两天学习过的汉字的概率； （2）某学生对后两天所学过的汉字每个能默写对的概率为，对前两天所学过的汉字每个能默写对的概率为．若范老师从后三天所学汉字中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的汉字的个数的分布列和期望． 21. 如图，椭圆焦点在x轴上，左右顶点分别为，上顶点为B，抛物线分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P． （1）求椭圆C及抛物线的方程； （2）若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点，求的最小值． 22. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最值； （2）若有两个不同的零点，，求的取值范围，并证明：． 2023—2024学年度高三（二月）摸底考试 数学试卷 命题：高三数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在