7.3.1 复数的三角表示式 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.1 复数的三角表示式 一、复习回顾·奠定基础 x y O a b Z (a,b) 探究 二、提出问题·得出概念 思考 二、提出问题·得出概念 问 题 1 问 题 2 二、提出问题·得出概念 二、提出问题·得出概念 复数的三角表示 二、提出问题·得出概念 代数形式 三角形式 模 辅角 二、提出问题·得出概念 问题1：一个复数的辐角的值有多少个？ 问题2：这些辐角的值之间有什么关系呢？ 问题3：若复数为0，它的辐角是哪个角？ 关于辅角，同学们先研讨三个问题 二、提出问题·得出概念 问题4：复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？ 【说明】每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值. 三、总结特点·加深理解 复数的三角表示的结构特点 四、例题导学·巩固新知 分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式. 四、例题导学·巩固新知 四、例题导学·巩固新知 【小结】复数代数形式转化为三角形式的方法 四、例题导学·巩固新知 五、深化概念，提升素养 问题1：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？ 问题2：两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 结论 六、课堂检测·目标达成 1.解：(1)原式=cosπ+isinπ； (2)原式= cosπ+isinπ. 2.解：(1)不是，原式=(cosπ+isinπ)； (2)是；(3)不是，原式=(cosπ+isinπ). 3.解：(1) 原式=-6i； (2)原式=-1+i. 七、布置作业·检测目标 教材P86第1、2、3题. 我们知道复数 可以由向量可 的坐标 唯一确定，向量 既可以由 它的坐标 唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定， 如图，能否借助向量 的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ 角 是以 轴的非负半轴为始边， 以向量 所在射线（射线 ）为终边的角. 你能用向量 的模和角 来表示复数 吗？ 记向量的模 ，由图可以得到， 所以 ， 其中 ， ， . 若点 在实轴或虚轴上，即角 的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？ 角 的终边落在第一象限，得到 ，这个式子是否具有一般性呢？即若角 的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？ 不管角 的终边落在什么位置，都有 . 一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式.其中 是复数 的模， 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角. 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. ， 是以 轴的非负半轴为始边， 向量 所在射线（射线 ）为终边的角 【提示】因为任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差 的整数倍. 【提示】对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0. 【提示】任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个. 我们规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值， 通常记作 ，即 . 例如 ， ， ， . 是复数的模， ； eq \o\ac(○,2)是同一个辐角值 的余弦和正弦； 在前， 在后； 和 之间用“+”连接。 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1） ； （2） . 解：（1）复数 对应的向量如图所示，则 ， . 因为与 对应的点在第一象限，所以 . 于是 . 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1） ； （2） . 解：（2）复数 对应的向量如图所示， 则 ， . 因为与 对应的点在第四象限， 所以 . 于是 . 【说明】把一个复数表示成三角形式时， 辐角 不一定取主值. 例如 也是 的三角形式. 复数的几何意义是解决此类问题的关键，要通过数形结合解决问题.只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式，而利用 即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用 或 的值求辐角. 【例2】分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： （1） ；（2） . _1643982776.doc 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1） ； （2） . 解：（1）复数 的模 ， 一个辐角 ，对应的向量如图所示. 所以 . （2）复数 的模 ，一个辐角 ，对应的向量如图所示. 所以 EMBED Equation.3