7.3.1 复数的三角表示式 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.1 复数的三角表示式 一、温故知新 引入新课 1.三角函数诱导公式有哪些? 2.复数的一般表示形式是什么？ 3.复数的几何意义是什么？ 4.复数还有其他表示形式吗？ 思考 以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的_______. 如图，与对应的向量的模r叫做这个复数的___________.并且r=__________. 二、探究本质,得出新知 探究一：复数的模与辐角 模 辐角 二、探究本质,得出新知 探究一：复数的模与辐角 思考1：根据定义，不等于零的复数z=a+bi的辐角是否只有一个？如果 不止一个，那么它们之间有何关系？两个非零的复数在什么条件下相等？ 【分析】①不等于零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍，例如，复数i的辐角是. ②为了使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合于0≤<2π的 辐角的值，叫做辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π. ③每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定，因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 二、探究本质,得出新知 思考2：①当a∈R+时，a，-a，ai，-ai的辐角主值分别是什么？ ②在前面我们一直都说非零复数，若z=0，那么它的辐角是多少呢？ 当z对应的点Z不在实轴或虚轴上时，z的辐角的终边所在的象限就是点Z所在的______； 当点Z在实轴或虚轴上时，辐角的终边就是从原点O出发、经过点Z的_____________. 探究二：复数的三角形式 二、探究本质,得出新知 象限 半条坐标轴 , 其中. 观察：试找出复数z=a+bi的实部，虚部与辐角，模r的关系. 【分析】从图中可看出， r（cos+isin）叫做复数a+bi的__________，为了同三角形式区别开来，a+bi叫做复数的代数形式. 总结 任何一个复数z=a+bi都可以表示成_______________的形式. 二、探究本质,得出新知 三角形式 二、探究本质,得出新知 思考3：复数三角形式z=r（cos+isin）的结构特点有哪些？ ①r是复数的模，； ②式中的三角函数是同一个辐角值的余弦和正弦； ③cos在前，sin在后； ④cos和sin之间用“+”连接. 因此，一个表示复数的式子是否为三角表示式，不能只看它是否含有正弦和余弦符号，还要看这个式子是否正确地给出了模、辐角及其连接符号. 试一试： 1.指出下列复数的模与辐角的主值： 2.（多选题）下列不是复数三角形式的有（ ） BCD 二、探究本质,得出新知 三、应用举例,学以致用 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）； （2）1-i. 分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式. 解：（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以arg.于是. 三、应用举例,学以致用 （2）复数1-i对应的向量如图所示，则 . 因为与1-i对应的点在第四象限，所以 ，于是. 提示：在化代数形式为三角形式时，不一定要求辐角取主值，如本例（2）也可以表示成. 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）； （2）1-i. 三、应用举例,学以致用 【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）； （2）1-i. 跟踪训练 三、应用举例,学以致用 把下列复数表示成三角形式： . 解： 因为对应的点在第一象限，， 于是. . 因为与-1对应的点在x轴的负半轴上，所以 ,于是. 三、应用举例,学以致用 规律总结：三角形式化为代数形式方法：展开运算即可. 【例2】分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： （1）；（2） . 解：（1）复数cosπ+ -isin π的模r=1，一个辐角=π，对应的向量如图所示.所以. （2）复数的模r=6，一个辐角,对应的向量如图所示，所以i. 三、应用举例,学以致用 把下列复数表示成代数形式： （1）；（2）. 跟踪训练 1.复数的模是______，辐角的主值是________. 四、课堂练习，加深理解 4 2.把下列复数化成另一种表示形式： ； ； ； . 五、归纳小结，提高认识 本节课的知识网络： 六、布置作业，检测目标 教材P89 复习巩固第1，2题. 规律总结： 代数形式化三角形式的步骤： （1）先画出复数z对应的向量， （2）求复数的模r及 ， （3）根据象限求出辐角（通常求辐角的主值）， （4）写出复数的三角形式. $$