7.2区间估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人民邮电出版社）

第七章 参数估计 第七章 参数估计 第1节 点估计 第2节 区间估计 第2节 区间估计 第2节 区间估计 一. 区间估计的概念 二. 枢轴量法 三. 单个正态总体参数的置信区间 四. 两个正态总体下的置信区间 区间估计：就是用样本来确定一个区间，使这个区间以很大的概率包含所估计的未知参数，这样的区间称为置信区间. 设总体X的分布中含有未知参数θ , 若由来自总体X的一个样本确定的两个统计量： 对给定的a (0 < a < 1)，有 一、参数的区间估计法 则称随机区间 是θ 的置信概率为1- a 的置信区间， 分别称为置信下限和上限，1-a 称为 置信水平. 这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置信区 间时，至少有100(1- )%的区间含有θ. 引例. 设总体X～N(μ,σ2), σ2 已知，X1,X2,…，Xn是一 个样本，对于给定的置信水平1-α,求μ的置信区间. 如σ2＝4 ,样本的一组观测值为，14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 13.28 (n=10),取 α＝0.1,求出置信区间. 构造含有 和待估参数μ的样本函数，且其分布已知 (应与μ无关). 选择具有这样的特性的样本函数 分析: 因 是μ的一个点估计, μ的区间估计应为在 附近的的一个区间,如何得到这样的区间？自然会想到 引例. 设总体X～N(μ,σ2), σ2 已知，X1,X2,…，Xn是一 个样本，对于给定的置信水平1-α,求μ的置信区间. 如σ2＝4 ,样本的一组观测值为，14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 13.28 (n=10),取 α＝0.1, 求出置信区间. 解: 由于 对于给定的置信水平1-a，通过下式 确定μ的范围，即 得μ的置信水平1-α置信区间为 引例. 设总体X～N(μ,σ2), σ2 已知。X1,X2,…，Xn是一 个样本，对于给定的置信水平1-α,求μ的置信区间. 如σ2＝4 ,样本的一组观测值为，14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 13.28 (n=10),取 α＝0.1,求出置信区间. μ的置信水平1-α置信区间为 取α＝0.1, 查表得 对于给定的样本值 可以算得 从而得到μ的置信水平0.9的一个 置信区间为( 13.665, 15.745). ⒈ 选取枢轴量 选取样本(X1,…,Xn)的一个函数G=g(X1,…,Xn;θ)，其中只含所求置信区间的未知参数θ，且分布已知． ⒉ 确定分位点 对于给出的置信水平1-a，确定g(X1,…,Xn;θ)的双侧分位点． 求置信区间的方法 ⒊ 变换不等式 利用不等式变形得到未知参数θ 的置信区间． 三. 单个正态总体参数的置信区间 若 X~N（μ, σ2）, X1, X2, …, Xn,是样本,有 故对给定的置信概率1- α，有 由此可得总体均值μ的1－α置信区间为： 1 . σ2 已知, μ的1- α置信区间 枢轴量 例2 设总体为正态分布N(,1)，为 得到的置信水 平为0.95的置信区间长度不超过1.2的，样本容量应为 多大？ 解：由题设条件知 的0.95置信区间为 其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n 现要求 即有 现1-= 0.95, 故u/2=1.96, 从而n(5/3)2 1.962 = 10.6711. 即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的 置信区间长度不超过1.2. 1. 基本定理 定理5.4.1 设 X1,X2,…,Xn 是来自正态总体N(, 2) 的样本，其样本均值和样本方差分别为 (3) (n-1) S2/2  2(n-1) 则有 (1) 相互独立; 预备知识、正态总体的抽样分布 11 预备知识. 单个正态总体的抽样分布 若（X1，X2，…，Xn）是正态总体N(μ，σ2)的一个样本， 和 S 2 分别是样本均值和样本方差，则 证明2. 且与 相互独立 则 2 . σ2 未知, μ的1- α置信区间 故对给定的置信概率1－α，由 由此可得总体均值μ的1－α置信区间为： 枢轴量 例3设