7.1点估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人民邮电出版社）

第七章 参数估计 第七章 参数估计 第1节 点估计 第2节 区间估计 第1节 点估计 若总体X的分布函数F(x)的类型已知，但它的一个 或多个参数未知,如何估计总体的未知参数？ 这里的参数可能是分布中的未知参数,也可能是未 知参数的函数,或者是分布中的各种特征数. 一般常用θ表示参数，参数θ所有可能取值组成的 集合称为参数空间，常用Θ表示. 参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作 出估计. 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计. 第1节 点估计 一、点估计的概念 二、求点估计的两种方法 三、估计量的评价标准 一、点估计的概念 如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可.这就涉及到二个问题. 设X1 ,X2 , …, Xn是来自总体的一个样本，我们用一 个统计量 去估计θ，称 为θ的 点估计（量），简称估计. 对于得到样本的一组 观测值x1 ,x2 , …, xn,估计量的值 称为θ的 估计值. 1. 如何给出估计，即估计的方法问题. 2.如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标 准. 引例已知某地区新生婴儿的体重X~ 随机抽查100个婴儿 … 得100个体重数据 10, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, … 呢? 据此,我们应如何估计 和 而全部信息就由这100个数组成. 二、求点估计的两种方法 我们知道,服从正态分布 由大数定律, 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计. 类似地，用样本体重的方差 用样本体重的均值 样本体重的平均值 使用什么样的统计量去估计 ？ 问题是: 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 . 英国统计学家K.皮尔逊最早提出 . 1. 矩估计法 矩估计法：是用样本矩估计相应的总体矩， 用样本矩的函数估计总体矩的同一函数的 一种估计方法。 理论根据：大数定律或格利文科定理 二、求点估计的两种方法 总体矩 总体矩的估计值 样本矩 = = 显然 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本， 解得m , s 2 的矩估计量分别为 即 依题意知 E(X)= m , D(X)= s 2， 据矩估计法有 例1．设总体X~N(m , s 2 )，试求m , s 2的矩估计量. 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本， 解得q1 , q2的矩估计量为 即 依题意知 据矩估计法有 例2．设总体X~U[q1 , q2] ，试求q1 , q2的矩估计量. 例3 设总体的概率分布为： 其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利用总体X的如下样 本值3,1,3,0,3,1,2,3;求θ的矩估计值. 解：E(X)=0×θ2+1 ×2θ(1-θ)+2 × θ2 +3 × (1-2θ) =3-4θ 令 即：3-4θ=2, 解得θ的矩估计值为 二. 最大似然估计 最大似然估计法是求估计用的最多的一种方法，最早由高斯(R.A,Gauss)提出，后来为费史（Fisher)在1912年重新提出，并证明该方法的一些性质．它是建立在最大似然原理基础上的一个统计方法． 1.最大似然原理 若一个随机试验有若干种可能的结果A，B，C，…． 若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对 A出现有利，也即A出现的概率很大． 引例1．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球，今随机地取出一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？ 引例2 设总体的概率分布为： 其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利得到总体Ｘ的如下 样本值3,1,3,0,3,1,2,3; 利用最大似然原理求θ的估计值. 解：由于抽样的随机性,样本X1,X2,…,X8 ,样本值的取值有48中可能, 现抽样一次得到样本值3,1,3,0,3,1,2,3, 其出现的可能性为(与θ有关) （0<θ<1/2） 由最大似然原理知: θ取值要有利于上述的样本值的出现. 利用微积分的知识得当 达到最大值,所以 θ的最大似然估计为 2.最大似然估计 定义6.1.1 设总体的概率函数为f(x; θ)，Θ是参数 空间, x1 , x2 , …, xn是样本，将样本的联合概率函数看 成θ的函数，用L(θ;x1 , x2 , …,