4.3协方差和相关系数（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人民邮电出版社）

第四章 随机变量的数字特征 e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C 第四章 随机变量的数字特征 第1节 数学期望 第2节 方差 第3节 协方差和相关系数 第3节 协方差和相关系数 第4节 矩和协方差阵 e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C 第3节 协方差和相关系数 一、协方差 二、相关系数 ？ 如何描述两个随机变量之间的关系? 若(X,Y)的全部可能取值坐标如图a,b,c, X与Y的关系各是什么? 1.定义 若E(X-E(X))(Y-E(Y))存在，则称其为随机 变量X与Y的协方差. 记为Cov(X,Y)即 Cov(X,Y) = E(X-E(X))(Y-E(Y)) 一、协方差 Cov(X,Y)>0, 称X和Y正相关, 表示X和Y有同时增加或减少趋势. Cov(X,Y)<0, 称X和Y负相关, 表示X增大而Y减少,或Y增大而X减少趋势. Cov(X,Y)=0, 称X和Y不相关. 协方差常用计算公式 Cov(X,Y)=E(XY )－E(X)E(Y) 例1. 求Cov(X,Y) Y 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 X 1/2 1/4 1/4 ¼ ½ ¼ 解： E(X) = 2 , E(Y) = 2； Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = － 1/6 ; E(XY) = 例2 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为 求 解 因为 o x y y=x 2. 协方差的性质 (1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (5) 若 X 与 Y 独立，则Cov(X, Y) = 0. (3) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (6) D(XY) = D(X)+ D (Y)  2 Cov(X, Y) (2) Cov(X, a) = 0. (4) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). 例2．已知D(X)= 2，D(Y)= 4，Cov(X,Y)= -2， 求 D(3X-4Y+8). 解： D(3X-4Y+8 ) = D(3X-4Y ) =D(3X) + D(4Y) - 2Cov(3X,4Y) = 9D(X) + 16D(Y) –24Cov(X,Y) = 18 + 64 + 48 = 130 若X，Y相互独立， D(3X-4Y+8 ) = D(3X) + D(4Y) = 82 二、相关系数 协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间 的联系,但它要受到X与Y量纲的影响.取不同的量纲, 会得到不同的协方差. 令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y* Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先 对X与Y进行标准化,以便消除量纲的影响. 再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念. 1.相关系数的定义 对于随机变量X和Y,若D(X)≠0, D(Y) ≠0则称 为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）. 2.相关系数的性质 (1) (2) X 与