4.1数学期望（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人民邮电出版社）

第四章 随机变量的数字特征 怎样粗线条地描述r.v 的特性 简单明了、特征鲜明、直观实用 随机变量的概率特性 分布函数 密度函数 分 布 律 特点： 全面、详细、完整 不足： 复杂、重点不突出 问题 ？ 要求 随机变量的数字特征 e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C 第四章 随机变量的数字特征 第1节 数学期望 第2节 方差 第3节 协方差和相关系数 第1节 数学期望 第4节 矩和协方差阵 e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C 第1节 数学期望 一、数学期望的概念 二、几种重要分布的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 一、数学期望的概念 引例 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲嬴2局、乙羸1局时，中止了赌博.问如何分赌本? 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌二局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 X 0 100 P 1/4 3/4 甲的“期望” 所得是：01/4 +100  3/4 = 75. 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100的随机变量， 其分布列为： 一、数学期望的概念 一、数学期望的概念 定义1 设离散随机变量X的分布列为 P{X=xi} = pi, i = 1, 2, ... 若级数 绝对收敛，则称该级数为X 的 数学期望 (Expected value)，记为 定义2 设连续随机变量X的密度函数为f(x), 若积分 绝对收敛，则称该积分为X 的 数学期望，记为 例1. 设随机变量 X 的概率密度为 求 E(X). 解: E(X)= = 1. 例3 设随机变量X的概率分布为（二项分布）， （k = 0，1，2，…，n） （0<p<1, q=1-p ) 求E(X). 解 二、几种重要分布的数学期望 例4 设随机变量X的概率分布为 （泊松分布） （k =0，1，2，…） 求 E(X). 例5 设随机变量X的密度函数为 其中 ＞0 (指数分布） 求E(X). 解 ，（-∞＜x＜+∞) 例6. 设X～N（μ,σ2）概率密度为： 求E(X). 三、随机变量函数的数学期望 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数, 若 E(g(X)) 存在, 则 若X是离散型; 若X是连续型. （1）一个随机变量函数的期望公式 例7 设随机变量X的概率密度为 试求Y=|X|的数学期望. 解: （2）二个随机变量函数的期望公式 设 Z=g(X,Y)是随机变量X,Y的函数, 若 E(g(X,Y)) 存在, 则 若(X,Y)是离散型; 若(X,Y)是连续型. 特别地 若(X,Y)是离散型; 若(X,Y)是连续型. 若(X,Y)是离散型; 若(X,Y)是连续型. 例8 设二维随机向量（X，Y）的概率密度为 试求 E(X)及E(XY). 解 2 y=2(1-x) 1 o x y 四、数学期望的性质 (1)