3.5二维随机变量函数的的分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人民邮电出版社）

第三章 多维随机变量及其分布 e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C 第三章 多维随机变量及其分布 第1节 二维随机变量的联合分布 第2节二维随机变量的边缘分布 第3节 随机变量独立性 第1节 二维随机变量的联合分布 第5节 二维随机变量函数的分布 第4节二维随机变量的条件分布 e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C §3.5 二维随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布 二、二维连续型随机向量函数的分布 问题：巳知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 Z=g (X, Y)的分布？ 一、二维离散随机变量函数的分布 (1) 设(X, Y)是二维离散随机变量，则 Z = g (X, Y)是一维离散随机变量. (2) 二维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(X, Y)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值. ii) 对Z 相同的取值，合并其对应的概率. 例1 已知(X,Y )的联合分布律 求 （1） Z = X+Y的概率分布 （2）Z = X2 - Y的概率分布 解 由(X,Y )分布得下表 P 1/10 2/10 3/10 4/10 Z -1 0 2 5 1/10 2/10 0 3/10 0 4/10 -1 2 0 1 3 X Y P 去掉表格中概率为0的值。将表格中相同函数值对应的概率求和。得到 (1)Z=X+Y的概率分布列为 例1 已知(X,Y )的联合分布律 求 （1） Z = X+Y的概率分布 （2）Z = X2 - Y的概率分布 解 由(X,Y )分布得下表 P 2/10 5/10 3/10 Z 0 1 4 1/10 2/10 0 3/10 0 4/10 -1 2 0 1 3 X Y P 去掉表格中概率为0的值。将表格中相同函数值对应的概率求和。得到 (2) 的概率分布列为 二、二维连续型随机向量函数的分布 已知(X,Y)的 f(x,y),求Z=g(X,Y)的概率密度fZ(z) 1. 分布函数法 其中D={(x,y)|g(x,y)≤z},且在f(x,y)的连续点处, 一维连续型随机变量Z=g(X,Y)的概率密度为 例2.设随机变量X和Y相互独立且均服从N(0,1),求 的概率密度. 解：由于X和Y独立且都服从N(0,1)，所以(X,Y)的联合密度为： 若z>0 所以， 设 分布函数为FZ(z). 若z≤0 例3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求随机变量Z=X+2Y的密度函数. 解 设Z=X+2Y分布函数为FZ(z). 当z≤0时, FZ(z)=0. 当z>0时, 2 x O y x+2y=z z z/2 例3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求随机变量Z=X+2Y的密度函数. 当z>0时, 所以Z=X+2Y的密度函数为 2、卷积公式 已知（X,Y）的联合概率密度 f(x,y)，求Z =X+Y 的密度函数. x+y=z 0 根据分布函数定义有 对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为