3.1多维随机变量及其联合分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人民邮电出版社）

第三章 多维随机变量及其分布 第1节 二维随机变量的联合分布 e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C 第1节 二维随机变量的联合分布 一、二维随机变量的联合分布函数 三、连续型随机变量联合密度函数 二、离散型随机变量的联合分布列 一、二维随机变量的联合分布函数 引例: 1.子弹在靶上落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述； 2. 在研究儿童的发育情况，考虑身高X、体重Y两个随机变量 . 3.考察炼出钢的质量，要考虑硬度X，含硫量Y，含碳量Z等随机变量. 特点: 试验结果需要用两个或两个以上的随机变量才 能描述 . 为n维(或者n元)随机变量或随机向量. 定义 若 是定义在同一个 样本空间 上的n个随机变量，则称 对于多维的随机变量,我们主要讨论二维随机变量, 二维随机变量常记为(X,Y) 一、二维随机变量的联合分布函数 定义 设(X, Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y,二元函数 F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P｛X≤x,Y≤y｝ 称为二维随机向量(X, Y)的分布函数, 或称为随机 变量X和Y的联合分布函数. 一、二维随机变量的联合分布函数 几何意义 F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率. y o (x, y) (X, Y ) 计算概率： 对于任意的x1＜x2，y1＜y2， P｛x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2｝ ＝F（x2, y2）-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1) y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 联合分布函数的基本性质 (2) (单调性) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调不减. (1) (有界性) 0  F(x, y)  1，且 F(, y) = F(x, ) =0， F(+, +) = 1. (3) (右连续性) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (4) (非负性)当x 1<x 2, y 1<y 2时，有 二、离散型随机变量联合分布列 1.定义 若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量. 称 pij = P｛X=xi, Y=yj｝， i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的概率分布列或随机变量 X与Y 的联合概率分布列， 其表格形式如下: Y X y1 y2 … yj … x1 x2 … xi … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … pi j … … … … … … 2. 联合分布列的基本性质 (1) (非负性) pij  0, i, j = 1, 2,… (2) (规范性)  pij = 1. 3. 确定联合分布列的方法 (1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 写出概率分布列或列出概率分布表. 例1. 设袋中共有3红，2蓝，4白球，现从中任取2只，以X，Y 记录取得的红、蓝色球数，求解下列问题. 解: 令X 表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数， （X,Y）的所有可能取值为（0, 0）,（0,1）,（0, 2), （1, 0）,（1,1）,（2, 0）依古典概型得 （i=0,1,2; j=0,1,2; 且i+j≤2） 如 (1) 求(X,Y)的概率分布 (2) P{X+Y=1} (3) P{X+Y≤1}