8.2.2 一元线性回归模型的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

第2课时　一元线性回归模型的应用 类型一 线性经验回归方程的应用　 　　【例1】　某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求经验回归方程=x+,其中=-20; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,若该产品的成本是4元/件,则为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 解　(1)由于=×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,=×(90+84+83+80+75+68)=80,所以=-=80+20×8.5=250,从而经验回归方程为=-20x+250。 (2)设工厂获得的利润为L元,依题意,得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000=-20(x-8.25)2+361.25,当且仅当x=8.25时,L取得最大值,故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润。 (1)只有在散点图大致呈线性时,求出的线性经验回归方程才有实际意义,否则求出的回归方程毫无意义。 (2)线性经验回归方程主要用于实际问题中的预测及决策,给我们解决实际问题提供理论上的指导。 【变式训练】　一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化,下表为抽样试验的结果: 转速x/(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y/件 11 9 8 5 (1)画出散点图; (2)如果y与x有线性相关关系,请画出一条直线近似地表示这种线性关系; (3)在实际生产中,若y关于x的经验回归方程为=x-,允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内? 解　(1)散点图如图所示: (2)近似直线如图所示: (3)由y≤10得x-≤10,解得x≤≈14.9,所以机器的运转速度应控制在14转/秒内。 类型二 非线性经验回归方程的应用 　　【例2】　近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线。某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天。得到的统计数据如表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的入住率,收费标准x与入住率y的散点图如图。 x 50 100 150 200 300 400 t 90 65 45 30 20 20 (1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为入住率超过0.6的农家乐的个数,求ξ的分布列; (2)令z=ln x,由散点图判断=x+与=z+哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?根据你的判断结果求经验回归方程。(,的结果保留一位小数) 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线=u+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-。 参考数据:=200,=0.45,=325 000,≈5.1,yizi≈12.7,≈158.1。 解　(1)ξ的所有可能取值为0,1,2。则P(ξ=0)===,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 　　(2)由散点图可知y=dz+c更适合于此模型。其中=≈≈-0.5,=-≈3,所以所求的经验回归方程为=-0.5ln x+3。 对数函数模型y=c1+c2ln x的求法 (1)确定变量,作出散点图。 (2)根据散点图,做出y=c1+c2ln x的函数选择。 (3)变量置换,令z=ln x,通过变量置换把问题转化为=+z的经验回归问题,并求出经验回归方程=+z。 (4)根据相应的变换,写出=+ln x的经验回归方程。 【变式训练】　以下是近几年我国新能源汽车的年销售量数据及其散点图。 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 新能源汽车年 销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 (1)请根据散点图判断,=x+与=x2+中哪一个更适宜作为年销量y关于年份代码x的经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的经验回归方程,并预测2024年我国新能源汽车的销售量(精确到0.1)。 附:=,=-。 参