6.1.2 两个计数原理的综合应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

第2课时　两个计数原理的综合应用 　　随着人们生活水平的提高,车辆拥有量迅速增长,汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求,再加上许多车主还希望车牌号“个性化”,因此,汽车号码需要进行扩容,这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数,号码的个数是如何进行计算的呢?要解决这个问题,就要综合运用两个计数原理进行运算。 能够结合具体实例,识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用,并能够运用这些原理解决简单的实际问题。 　 1.利用分类加法计数原理解题的思路方法及注意事项 在用分类加法计数原理解题时,首先要明确问题中要完成的“一件事”指的是什么,同时要确定一个恰当的分类标准进行分类;其次,在分类时要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且属于不同类的两种方法是不同的方法,即分类时要遵循“不重不漏,一步完成”的原则。有时各个类别的方法用列举法逐一列出更加清楚,列举时可一一列举,也可列表列举或画树状图列举,一一列举时要注意按一定的顺序才能不重不漏。 2.利用分步乘法计数原理解题的思路方法及注意事项 (1)运用分步乘法计数原理解题时,首先应根据题意确定一个合理的分步标准,然后分别计算每一步的方法数,最后利用分步乘法计数原理求出完成这件事的方法总数。 (2)在分步中,每步之间必须连续,只有每个步骤都完成了,这件事才算完成,且每步之间既不能重复也不能遗漏。 3.综合应用两个计数原理解题的思路方法 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要先设计好分类标准,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰,也可以根据题意恰当合理地画出示意图或列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题。 微思考 1.分类“不重不漏”的含义是什么? 提示:不重复不遗漏。 2.含有特殊元素的计数问题一般采用什么方法解决? 提示:直接法:特殊元素优先,一般元素在后,含特殊元素的计数问题要优先考虑特殊元素;间接法:先不考虑特殊元素进行计数,再减去不符合条件的特殊情形。 类型一 组数问题 【例1】　用0,1,2,3,4五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解　(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125个。 (2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100个。 (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18种排法。因而有12+18=30种排法,即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数。 对于组数问题,应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键。一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解。 (2)要注意数字“0”不能排在数的最高位。 【变式训练】　在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数为 108 。  解析　能被5整除的四位数的末位是0或5,因此分两类:第一类,末位为0时,其他三位从剩下的数中任意排3个即可,有5×4×3=60(个);第二类,末位为5时,首位不能排0,则首位只能从1,2,3,4选1个,第二位和第三位从剩下的数中任选2个即可,有4×4×3=48(个)。根据分类加法计数原理得可以组成60+48=108个不同的能被5整除的四位数。 类型二 抽取与分配问题 　　　　　　　　　　 　　【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有 (C) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 解析　先计算三个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即4×4×4-3×3×3=37(种)方案。故选C。 解决选(抽)取与分配问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法。 (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理;②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。 【变式训练】　3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,