几何体外接球及球体问题专练-2024届高三数学一轮复习

球体问题 外接球问题，此类问题实质是解决求得半径或确定球心O得位置问题，其中球心的确定是关键。 1、 正方体或长方体的外接球球心在体对角线的中点：有线面垂直关系的棱锥可补全为正方体或长方体：直三棱柱的外接球球心在上下底面三角形外接圆圆心连接的中点上。 1. 侧棱垂直于底面，底面是直角三角形 (1) 三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是( ) A. B. C. D. (2) 已知正三棱锥P-ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为_____________. (3) 三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，且PA=1， PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为_______________. 2. 侧棱垂直于底面底面，底面伟非直角三角形（底面锐角或钝角 (1)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=，则该球的表面积为（） A. 8π B. 16π C. 32π D. 36π (2)已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC= ,BC=6，PA⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的半径为_________________ 2、 侧棱不垂直于底面 (1) 三棱锥A-BCD的外接球为球O, 球O的直径是AD，∆ABC、∆BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是（ ） (2) )已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，∆ABC是边长为1的等边三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ） (3) )已知球O的半径为R，A、B、C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为. AB=AC=2，∠BAC=,则球O的表面积为（） A. B. C. D. (4) 已知球O的球心到过球面上三点A、B、C的截面的距离等于球半径的一半，且AB=3， tan∠ACB=-,则球O的体积为_________. 3、 若棱锥的定点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心 (1) 在三棱锥P-ABC中，PA=, PC=2, AB=, BC=3，∠ABC= ,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（） A. B. C. D. (2) 三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC , AB⊥AC, 又SA=AB=AC=1，则球O的表面积为（） A. B. C. D. 4、 相对的棱相等的三棱锥可由长方体的面对角线构成 三棱锥A-BCD中，AB=CD=,AD=AC=BD=BC=, 则三棱锥A-BCD外接球的体积为_______. 5、 已知几何体的体积来求几何体外接球的表面积 (1) 已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=,且棱锥O-ABC的体积为， 则球O的表面积为__________. (2) 已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，∆ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为 A. B. C. D. 练习 (1) 沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体A-BCD外接球表面积为__________. (2) 已知点A、B、C、D在同一个球面上且四点共面，AB=BC=CD=DA=2，P为该球面上的动点，若三棱锥P-ABC的体积的最大值为，则该球的表面积是_______. (3) 一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. (4) 正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则该正三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. (5) 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD=1，AB=2，平面PAD⊥平面ABCD , PA=PD,且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. (6) 已知正∆ABC的顶点都在球O的球面上，正∆ABC的边长为.若球心O到∆ABC所在平面的距离为，则球O的表面积为（ ） A. B . C. D. (7) 在三棱锥P-ABC中,