专题03 勾股定理与数学思想及数学方法-2023-2024学年八年级数学下册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教版）

专题03 勾股定理与数学思想及数学方法（原卷版） 类型一 方程思想 （一）单勾股列方程 技巧1 利用等腰三角形转移线段 1．（2023春•荔城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长． 2．（2022秋•芙蓉区校级月考）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E． （1）求证：△BED是等腰三角形； （2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 技巧2 利用全等三角形转移线段 3．（2021春•重庆期中）如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4，求FD的长． （2） 双勾股列方程 技巧1 利用公共边列方程 4．（2018春•淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为垂足，求△ABC的面积． 5．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝4，求BC边上的高AD的长． 技巧2 利用相等边列方程 6．（2023春•邻水县校级期末）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A 　 　km？ 7．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长． 类型二 分类讨论思想 （一）根据三角形高位置的不确定性分类讨论 9．（2023春•大观区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为 　 　． 10．（2022秋•海阳市期末）已知CD是△ABC的边AB上的高，若，AD＝1，AB＝2AC，则BD的长为 　 　． （二）根据动点位置的不确定性分类讨论 8．（2022秋•冠县期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（　　） A．6或 B．6或 C．或 D．6或或 11．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝　 时，△OAP是等腰三角形． （三）根据等腰三角形要和底的不确定性分类讨论 12．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF． （1）求AB的长； （2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长． 类型三 构造等腰直角三角形或含30°角的直角三角形 技巧：①等腰直角三角形三边之比1∶1∶；②含30°的直角三角形三边之比1∶1∶ 13．（2020春•涪城区校级月考）已知∠BCD＝α，∠BAD＝β，CB＝CD． （1）如图1，若α＝β＝90°，求证：AB+ADAC； （2）如图2，若α＝β＝90°，求证：AB﹣ADAC； （3）如图3，若α＝120°，β＝60°．求证：AB+ADAC； （4）如图4，若α＝β＝120°，探究AB，AD，AC之间的关系． 14．（2021春•贵阳期末）已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°． （1）如图①，若∠B＝∠D＝90°，求证：AB+ADAC； （2）如图②，若CB＝CD，AB+ADAC是否还成立？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理与数学思想及数学方法（解析版） 类型一 方程思想 （一）单勾股列方程 技巧1 利用等腰三角形转移线段 1．（2023春•荔城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长． 【思路引领】由勾股定理先求出BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC6， 连接BE， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， ∴AE． 【总结提升】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质． 2．（2022秋•芙蓉区校级月考）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E． （1）求证：△