6.3.5平面向量数量积的坐标表示（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.3.5平面向量数量积 的坐标表示 复习导入 已知，． 则 数乘的坐标表示 已知，那么， 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 平面向量共线 向量 新知探究 思考：向量的加减、数乘都能用坐标来表示，向量的数量积是不是也可以呢？ 问题1：回顾一下，平面向量数量积的定义是什么？数量积的重要性质有哪些？ 性质与运算律 定义 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） ； 新知探究 问题2：已知怎样用与的坐标表示呢？ 因为，， 所以 . 又 所以 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. y A(x1,y1) B(x2,y2) O x 新知探究 问题3：已知那么怎样表示呢？ 因为 所以 所以 问题4：已知那么怎样表示呢？ 因为， 所以, 又 所以 新知探究 问题5：两向量夹角的余弦值该怎么用坐标表示呢？ 设， 所以 问题6：已知,那么如何表示？ 因为 所以 所以 新知探究 向量的数量积核心知识 ①数量积定义： ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） 练习巩固 练习1：已知向量，求 ① ② 解：①; ② ; 变式1-1：如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上.若，则 【答案】： 练习巩固 变式1-2：已知与同向，，. ①求的坐标；②若，求及. 解：①设，则有 ∴∴ ②∵ ∴ 练习巩固 练习2：已知向量，则( ). B、2 C D、50 【答案】： 变式2-1：已知向量，向量则的最大值为________. 【答案】： 变式2-2：已知向量，，，则等于( ). B C、5 D、25 【答案】： 练习巩固 练习3：已知向量，求： ①求，； ②求，， ③求 ④求，的夹角的正弦值. 解：①； ； ； ②； ③； ； 练习巩固 练习3：已知向量，求： ①求，； ②求，， ③求 ④求，的夹角的正弦值. 解：④ ， ； ， 练习巩固 例10：若则是什么形状？证明你的猜想. 解：（法一）如图，在平面直角坐标系中画出点，我们发现是直角三角形.证明如下. 因为 ， 所以 于是. 因此，是直角三角形. 练习巩固 例10：若则是什么形状？证明你的猜想. 解：（法二）因为 ， . 所以，，， 所以， 则，是直角三角形 练习巩固 例11：设求及的夹角(精确到1°). 解： 因为 所以用计算器计算可得， 利用计算工具可得 练习巩固 例12：用向量方法证明两角差的余弦公式 解：如图，在平面直角内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，.则： 由向量数量积的坐标表示，有 设与的夹角为，则 所以 ① ② 练习巩固 例12：用向量方法证明两角差的余弦公式 另一方面，由图1可知， 由图2可知，.于是 所以 于是， ① ② 练习巩固 练习4：设平面上向量()，.求证：与垂直. 证明：∵ ∴. 练习巩固 变式4-1：在矩形中，，，，分别在，上，且,则当时，. 【答案】： 变式4-2：已知，则与垂直的单位向量的坐标为. 【答案】：或 练习巩固 练习5：已知，则在方向上的投影向量为__________. 【答案】： 投影： 向量在向量上的投影向量的模： 向量在向量上的投影向量： 小结 向量的数量积 ①数量积定义： ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） $$