1.1.2 数列的函数特性-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

1.2　数列的函数特性 1.数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(k,ak),k=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象。 2.数列的单调性 一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列。 如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列。 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列。 微提醒 函数有三种表示法:列表法、解析法、图象法,因而数列也有上述三种表示方法。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P004 　 类型一 数列的分类 　　【例1】　下列数列哪些是有穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是常数列? (1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018; (2)0,,,…,,…; (3)1,,,…,,…; (4)9,9,9,9,9,9。 解　(1)(4)是有穷数列;(1)(2)是递增数列;(3)是递减数列;(4)是常数列。 ( 　　 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点。对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析 ; 而是有穷数列还是无穷数列则看项的个数有限还是无限 ) 【变式训练】　①2015~2022年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135。 ②无穷多个构成数列, , , ,…。 ③-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、…构成数列-2,4,-8,16,-32,…。 其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　,常数列是　　　　。  答案　①　②③　①　② 类型二 判断数列的单调性 　　【例2】　已知数列{an}的通项公式为an=,试判断该数列的单调性。 解　因为an+1-an=- = =, 由n∈N+,得an+1-an>0,即an+1>an。 所以数列{an}是递增数列。 ( 　　 单调性是数列的一个重要性质。判断数列的单调性 , 通常是运用作差或作商的方法判断 a n +1 与 a n ( n ∈ N + ) 的大小 , 若 a n +1 > a n 恒成立 , 则 { a n } 为递增数列 ; 若 a n +1 < a n 恒成立 , 则 { a n } 为递减数列。用作差法判断数列增减性的步骤为 : ① 作差 ; ② 变形 ; ③ 定号 ; ④ 结论。 ) 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式是an=,试判断数列{an}的单调性。 解　解法一:因为an=, 所以an+1==, 于是an+1-an=- = =, 因为n∈N+, 所以(2n+1)(2n+3)>0, 因此>0, 即an+1>an,故{an}是递增数列。 解法二:因为an=, 所以an+1==, 于是=× ==1+, 因为n∈N+, 所以>0, 因此1+>1,即>1, 又an>0,所以an+1>an, 即{an}是递增数列。 类型三 求数列的最大(小)项 　　【例3】　已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4。 (1)数列中有多少项是负数? (2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值。 解　(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4。 因为n∈N+,所以n=2,3。 所以数列中有两项是负数。 (2)解法一:因为{an}的相应函数为f(x)=x2-5x+4=-,可知对称轴方程为x==2.5。 又因为n∈N+,故n=2或3时,an有最小值,且a2=a3,其最小值为22-5×2+4=-2。 解法二:设第n项最小,由 得 解这个不等式组,得2≤n≤3。 又因为n∈N+,所以n=2,3。 所以a2=a3且最小。 所以a2=a3=22-5×2+4=-2。 ( 　　 求数列 { a n } 的最大项和最小项 , 一种方法是利用函数的最值法 ; 另一种是不等式法 , 求最小项可由 来确定 n , 求最大项可由 来确定 n 。若数列是单调的 , 也可由单调性来确定最大或最小项 ) 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式an=(n+1)·(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由。 解　假设数列{an}中存在最大项。 因为an+1-an=(n+2)-(n+1)·=·, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an, 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 所以数列中有最大项,最大项为