7.2 离散型随机变量及其分布列-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．2　离散型随机变量及其分布列　► 对应学生用书P36 课程标准 学习目标 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．会求某些简单的离散型随机变量的分布列． 1．数学抽象：理解离散型随机变量及其分布列的概念与性质． 2．数学运算：会求分布列． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识　　　　　　　　　　　　　　　　 一、随机变量的概念、离散型随机变量 1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．随机变量的特点 (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 3．离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称之为离散型随机变量． [提醒] 随机变量的取值对应随机试验的某一随机事件，如“掷一枚骰子”这一随机试验中所得点数是一随机变量ξ，“ξ＝2”可规定为对应随机事件“掷一枚骰子，出现2点”． 二、离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 三、两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． [提醒] 由于一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验，所以两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率． 【基础自测】 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X 解析：选ABD.∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量． ∵A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量． 而C中X的取值不能一一列举出来，∴C中的X不是离散型随机变量． 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 3m 2m 则m＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由离散型随机变量分布列的性质可知，2m＋3m＝1，所以m＝. 3．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，10这6个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________． 解析：依题意有P(ξ>8)＝×2＝. 答案： 4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)等于________． 解析：设失败率为p，则成功率为2p，由{X＝0}表示“试验失败”，{X＝1}表示“试验成功”， 得X的分布列为 X 0 1 P p 2p 由p＋2p＝1得p＝，即P(X＝0)＝. 答案： 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　离散型随机变量的可能取值及试验结果　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X； (2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X. 解：(1)X可取0，1，2，3. X＝0表示取5个球全是红球； X＝1表示取1个白球，4个红球； X＝2表示取2个白球，3个红球； X＝3表示取3个白球，2个红球． (2)X可取3，4，5. X＝3表示取出的球编号为1，2，3. X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4. X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5. 【母题探究】(变设问)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？ 解：X可取1，2，3. X＝3表示取出的3个球的编号为3，4，5. X＝2表示取出的3个球的编号为2，3，4；2，3，5或2，4，5. X＝1表示取出的3个球的编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；1，2，4；1，3，4，1，2，3. [总结] 　用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点 (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 【跟踪训练】 1.写出下列随机变量的限值