6.2.3&6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　组合的综合应用　　　► 对应学生用书P15 课程标准 核心素养 1．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题． 2．能解决无限制条件的组合问题． 逻辑推理、数学运算：利用综合知识解决实际问题． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　简单的组合问题 【例1】 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)从中任选5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3(种)选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378(种)不同的选法． 【母题探究】 (变设问)在本例条件下，甲、乙、丙三人至少1人参加，有多少种不同的选法？ 解：法一　可分为三类： 第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC＝378(种)不同的选法； 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC＝252(种)不同的选法； 第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有CC＝36(种)不同的选法． 共有CC＋CC＋CC＝666(种)不同的选法． 法二　12人中任意选5人，共有C种， 甲、乙、丙三人都不能参加的有C种， 所以共有C－C＝666(种)不同的选法． [总结] 　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可． 【跟踪训练】 1.(2022·湖北宜昌期末)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 解析：选B.由题意知本题是一个分类计数问题．按照没送的书是画册还是集邮册分类，若是画册，则3本集邮册与1本画册，共CC＝4(种)；若是集邮册，则2本画册与2本集邮册，共CC＝6(种)，因此共有4＋6＝10(种). 2．现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲、乙两类均被选到的方法共有____________种．(用数字填写答案) 解析：甲、乙两类均被选到分两种情况： (1)甲类选2个，乙类选1个，即C26C12； (2)甲类选1个，乙类选2个，即C16C22； 所以总数共有C26C12＋C16C＝36. 答案：36 突破点二　有限制条件的组合问题 【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从余下的34种商品中选取2种，有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种). ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种). ∴恰有2种假货在内的不同取法有2 100种． (4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). ∴至少有2种假货在内的不同取法有2 555种． (5)选取3种的总数为C种，选取3种假货有C种，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种). ∴至多有2种假货在内的不同取法有6 090种． [总结] 　常见的限制条件的组合问题的解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． (2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 【跟踪训练】 3.(2023·泰州高二检测)现有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，准备选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)