6.2.3&6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2．3　组合　6．2．4　组合数　　► 对应学生用书P12 第1课时　组合与组合数公式 课程标准 核心素养 1．理解组合与组合数的概念． 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值． 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明． 1．数学抽象：理解组合与组合数的概念． 2．数学运算：借助组合数公式及特征进行运算． 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、组合概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． [提醒] 辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题． 二、组合数、组合数公式及性质 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 2．组合数公式及其性质 (1)公式：C＝＝． (2)性质：C＝C，C＋C＝C． (3)规定：C＝1． [必记结论]　常见组合数恒等式 (1)C＝C； (2)C＝C； (3)C＝C； (4)C＋C＋C＋…＋C＝C； (5)CC＋CC＋…＋CC＝C. 【基础自测】 1．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　) A．7 B．12 C．20 D．30 解析：D.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12(种)，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30(种). 2．已知C－C＝C(n∈N*)，则n等于(　　) A．14 B．12 C．13 D．15 解析：选A.因为C＋C＝C，所以C＝C.∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A. 3．C＝________． 解析：C＝C＝2 023. 答案：2 023 4．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有________种不同选法． 解析：只需从9名学生中选出3名即可，从而有C＝＝＝84(种)选法． 答案：84 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　组合概念的规律 【例1】 (多选)(2023·南昌十校联考)给出下列问题，其中是组合问题的是(　　) A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合 B．从7名班委中选2人担任班长和团支书 C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会 D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数 解析：选AC.A中，选出的元素构成集合，是组合问题；B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D中，2个数字组成两位数，有十位数和个位的区分，是排列问题．故选AC. [总结] 　判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 【跟踪训练】 1.判断下列各事件是排列问题还是组合问题： (1)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (2)从10个人里选3个做不同学科的课代表，有多少种选法？ 解：(1)是组合问题，(2)是排列问题． 突破点二　组合数公式 【例2】 (1)计算：C＋C； (2)求证：C＝C. 解：(1)由组合数定义知： 所以4≤n≤5.又因为n∈N*， 所以n＝4或5. 当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5； 当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16. (2)∵右边＝C＝·＝＝C， 左边＝C，∴左边＝右边， ∴原式成立． 【母题探究】 1.(变条件、变设问)若将(1)改为A＝6C，求m. 解：因为A＝6C， 所以m(m－1)(m－2)＝6·， 所以m－3＝4，m＝7. 2．(变设问)将(2)改为证明C＝C. 证明：右边＝C＝·＝＝C， 左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立． [总结] 　应用组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N*”，即上标不大于下标且均为正整数的应用． 【跟踪训练】 2.解方程：(1)C＝C； (2)C＋C＝A. 解：(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13， 解得x＝4或x＝5. 由得2≤x≤8且x∈N*. 故原方程的解为x＝4或x＝5. (2)原方程可化为C＝A，即C＝A， ∴＝， ∴＝， ∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3. 经检验，x＝4是原方程的解． 突破点三　组合数性质及应用 【例3】 计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 [思维点拨]　利用条件式的特点